高中数学三角函数基础知识点及答案1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。

（答：25-；536π-） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .(6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

（答：Z k k ∈+,32ππ）4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角（答：一、三）5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0ry yα=≠。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

如（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

（答：713-）；（2）设α是第三、四象限角，mm --=432sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)23）；（3）若0|cos |cos sin |sin |=+αααα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 （答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

如 （1）若08πθ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____(答：tan sin cos θθθ<<)；（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______（答：sin tan ααα<<）；（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______（答：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈）（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此yTA xαBSO M P角的其它三角函数值。

在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

如（1）函数sin tan cos cot y αααα+=+的值的符号为____（答：大于0）；（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____（答：[0,]4π],43[ππ）；（3）已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____（答：125-）；（4）已知11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝___；2cos sin sin 2++ααα＝____ （答：35-；513）；（5）已知a = 200sin ，则 160tan 等于A 、21a a-- B 、21aa- C 、a a 21-- D 、a a 21-（答：B ）；（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为______（答：－1）。

10.三角函数诱导公式（2kπα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。

如（1）97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为________）； （2）已知54)540sin(-=+α ，则=-)270cos( α______，若α为第二象限角，则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα________。

（答：54-；1003-）随堂练习例1 已知角的终边上一点P （－ 3 ，m ），且sin θ=24m ，求cos θ与tan θ的值．分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程．解 由题意知r= 3＋m 2 ，则sin θ= m r = m3＋m 2．又∵sin θ=2 4m ， ∴ m 3＋m 2= 24 m ． ∴m=0，m=±5 ． 当m=0时，cos θ= －1 ， tan θ=0 ； 当m= 5 时，cos θ= －6 4， tan θ= － 15 3； 当m= － 5 时，cos θ= －6 4，tan θ=153． 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．例2 已知集合E=｛θ｜cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tan θ＜sin θ}，求集合E ∩F ．分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之．解 E=｛θ｜π4 ＜θ＜5π4}， F =｛θ｜ π2＜θ＜π，或3π2＜θ＜2π}，∴E ∩F=｛θ｜π2＜θ＜π}．例1 化简sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化． 解 原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α)(-cos α)(-tan α)= sin α·cos αsin αcos α=1 ．点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．分析 已知式为sin θ、cos θ的二次式，欲求式为sin θ、cos θ的一次式，为了运用条件，须将cos θ－sin θ进行平方．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34．∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ．∴cos θ－sin θ= －32． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值． 变式2 已知cos θ－sin θ= －32， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 点评 sin θcos θ，cos θ+sin θ，cos θ－sin θ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．分析 因为cos 2θ+sin θcos θ是关于sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成tan θ的式子． 解原式=cos 2θ+sin θcos θ=cos 2θ+sin θcos θ cos 2θ+sin 2θ = 1+tan θ 1+tan 2θ= 25 ． 点评 1．关于cos θ、sin θ的齐次式可转化成tan θ的式子．2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos 2θ等．例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12，求cos(α－β)的值 ．分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cosβ的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 12， ②①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= 1336． ∴cos(α－β)=7259． 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异． 例2 求2cos10°-sin20°cos20°的值 ．分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解 ∵10°=30°－20°，∴原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30°cos20°= 3 ．点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例1 求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°； (2)（ 3 tan12°-3）csc12°4cos 212°-2．(1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+ 3 tan10°tan50°= 3 ． （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．解 原式= （ 3 ·sin12°cos12°－3）1 sin12°2 cos24° =︒︒-︒24cos 212sin 312cos 3=︒︒-︒=︒︒︒︒-︒48sin 21)12cos 2312sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3=.3448sin )6012sin(34-=︒︒-︒点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=22b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．。