i
i /2 sin 2 e 。 cos ei /2 2
ˆ ,ˆ 3. (l j ,ˆ jz ) 的共同本征函数为：
2 2
对于 j l
1 l m 1Ylm 1 ， ljm j ， 2 2l 1 l m Y l ,m 1
北京师范大学 2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
部（院、系、所） ： 科目代码：959 科目名称：量子力学 （所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效） 一． 填空及选择题（共 25 分） 。选择题多选、少选、选错均不得分。 1． 质量 m 频率 的一维谐振子的动量表象波函数是 p, t ，写出 p, t 所满足的演化微 分方程_____________________。 2． 质 量 m 频 率
1 ， ljm j 2
对于 j l
1 l mYlm 。 2l 1 l m 1 Y l ,m 1
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2
(C) ( x )
(D)
ei x
5． 以下几对算符中，存在共同本征态的有____________。
ˆx, p ˆy (A) p
ˆ, p ˆx (B) x
ˆx , s ˆy (C) s
(D)
lˆx , lˆy
2
二． （25 分）自然单位制下（ m 1） ，某粒子定态波函数为 ( x) 1/4e x 态下动能和势能平均值相等，求势能函数 V ( x ) 及能量本征值。 三． （25 分）电子处于 s z
科目代码：
959
科目名称： 量子力学
求磁矩 z
e ˆ ˆz ) 的期望值。 (l z 2 s 2me
ˆx 的期望值。 （2） 若其处于 1,3/2,1/2 ， 请计算 s
五． （25 分）一粒子被一 势阱束缚， 即 V ( x) ( x), 关闭（消失） 。 请写出 t 0 的波函数。 六． （25 分）一个带电粒子被限制在半径为 R 的圆环上运动，其质量为 ， 电量为 q 。 在 圆环中加上磁场，磁通量为 ，磁场被约束在 r R 的区域，此时环上磁场为零，但矢势
2



x 2e x
2

2
, cos2
x x sin 2 cos x 2 2
ˆ 方向自旋算符 n 2. n
cos sin e
i
cos ei /2 sin e 2 , 的本征态为 cos sin ei /2 2
/2
，已知该
的自旋态。 t 0 时刻，加一与 z 轴成 角的均匀磁场，磁感应 2 强度为 B 。求 t 时刻测电子自旋仍为 s z 的几率。 2
四． （25 分） （1）钠原子最外层电子处于 （转背面！ ）
1 2 1,3/2,1/2 1,1/2,1/2 ， 3 3
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的三维各向同性谐振子的某能级简并度是 6 ，则能量为
___________________。 3． 质量为 me 的两电子处于宽为 a 的无限深方势阱中， 不考虑电子间相互作用能， 但考虑自旋 对波函数的贡献，则系统的基态能量为_______________。 4． 下面描述一维束缚态的波函数有____________________。 (A) sin x (B) xe x
0 。 在 t 0 时，势阱突然
ˆ 1 (p ˆ qA )2 。 , A 0 ） 。 粒子的哈密顿可写为 H A 不为零（ A 2 R 2
（1） 请问能谱是分立的还是连续的？ （2） 请求出粒子的能级和波函数。
参考公式： 1.



e x ,