3 过程控制系统的分析
时曲线有极值点（ｎ为正整数）。将上述两种ｔ值代入式（３-18），就能求出过渡过程曲线的各个特殊点数值，其数值列入表３-２中。
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根据表３-２中数据绘制出过渡过程曲线如图３-5中的曲线２所示
过程控制技术
第六讲 过程控制系统的过渡过程分析（二）
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（2）衰减比n 是指过渡过程曲线同方向的前后相邻两个峰值之比，如图3-6中Ｂ/Ｂ′＝n，或习惯表示为n∶1。可见n愈小，过渡过程的衰减程度越小，意味着控制系统的振荡程度越加剧烈，稳定性也就低，当n＝１时，过渡过程为等幅振荡；反之，n愈大，过渡过程愈接近非振荡过程，相应的稳定性也越高。从对过程控制系统的基本性能要求综合考虑（稳定、迅速），
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式中下标“0”表示系统在初始平衡状态下的数值，则
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（4）控制器的控制规律 在过程控制系统中常使用的控制器，其控制规律有比例、比例积分和比例积分微分三种，它们的数学模型分别为：
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在这个系统中若选用的是电动比例控制器，则p＝Ｋcｅ 在过程控制仪表中控制器的放大系数Ｋc是通过改变控制器的比例度δ来设置的，若采用测量范围（量程）为50～100℃，输出信号为4～20 mA DC的电动温度变送器，并选用电动控制器的比例度δ＝２０％，于是根据比例度的定义计算出控制器的放大系数是：
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（5）余差Ｃ（残余偏差） 余差是过渡过程终了时设定值与被控变量的稳态值之差，用数学式表示为 余差是一个反映控制系统准确性的质量指标，也是一个精度指标。它由生产工艺给出，一般希望余差为零或不超过预定的范围。
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综上所述，过渡过程的质量指标主要有：最大偏差或超调量、衰减比、过渡时间、振荡周期、余差。一般希望最大偏差或超调量、余差小一些，过渡时间短一些，这样控制质量就 好一些，但也有矛盾，不能同时给予保证。如当最大偏差和余差都小时，则过渡时间就要长。因此，要根据工艺生产的要求，结合不同的控制系统，对控制质量指标分出主次，区别轻重，优先保证主要控制质量指标。
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过程控制系统过渡过程的质量指标评定 （1） 曲线１表示的是加热器出口温度控制系统的设定值由80℃增加到81℃时，被控变量测量值z（ｔ）的变化情况［并不是y（ｔ）的情况，而且纵坐标为增量表示］。由曲线对控制系统的质量指标计算如下：
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（3）上升时间tr、峰值时间tp和过渡时间ts ①上升时间tr是过渡过程曲线从零上升至第一次到达新稳定值所需的时间。 ②峰值时间tp是过渡过程曲线到达第一个峰值所需的时间。 ③过渡时间ts又称控制时间（过渡过程时间）。它是从扰动发生起至被控变量建立起新的平衡状态止的一段时间。严格地讲，被控变量完全达到新的稳态值需要无限长的时间。实际上从仪表的灵敏度以及工程上规定：过渡过程曲线衰减到与最终稳态值之差不超过±５％时所需要的时间，为过渡过程时间或控制时间ts。 上升时间tr 、峰值时间tp和过渡时间ts都是衡量控制系统快速性的质量指标。
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（2）测量元件、变送器的微分方程式 变送器的数学模型前已说明可视为K＝1的比例环节。测温元件热电阻的数学模型可视为一阶特性：
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（3）气动薄膜控制阀的微分方程式 气动薄膜控制阀一般为一阶特性：
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控制阀的时间常数一般很小，与被控对象和测量元件的时间常数相比可以忽略，使控制阀又可近似为一个比例环节，即
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因为y（t）称为被控变量的真实值，它是客观存在的温度，但是如果不用测量仪表是无法知道的。所以，为使理论计算和实际工作情况相一致，z（t）称为被控变量的测量值，并作为控制系统的输出变量。 现应用拉氏变换求得各环节的传递函数，则加热器温度控制系统的方块图如图３-4所示 。
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假定采用线性控制阀，则控制阀的放大系数Ｋv为常数。显然当输入信号为4～20ｍＡ时，控制阀开度对应全关和全开（气开阀）。为了使系统对正向或反向的扰动都能进行工作，则可选定静态工作点，即控制器的p0＝12mA DC，也就是说，系统在无扰动时，其输出温度为80℃，控制阀开度达到50％，通过控制阀的蒸汽流量为Ｗ0。根据热量平衡方程式列出静态方程式：
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在图３-3（ａ）中，蒸汽通过喷嘴与冷流体直接接触，将冷流体加热流出。工艺要求加热器流体出口温度保持在80℃，并已知：加热器的容积Ｖ＝500Ｌ，冷流体流量Ｆin0＝100kg/min,入口温度Ｔin＝（20±10）℃，密度ρ＝１kg/Ｌ，比热容c＝4.184kＪ/ｋg·℃，蒸汽在98.1kＰa压力下，冷凝释放的汽化潜热λ＝22594kＪ/kg。安装在加热器出口处的测温元件为热电阻，经温度变送器将温度信号送至控制器，控制器根据被测的温度信号与设定值（x＝80℃）信号相比较所得偏差信号，按一定的控制规律输出去驱动控制阀，使加热器蒸汽流量Ｗ作相应变化，以保证温度控制的需要。
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定值控制系统的传递函数 随动控制系统的传递函数 于是加热器出口温度控制系统的微分方程式为：
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2. 过程控制系统的过渡过程 当过程控制系统的数学模型建立起来之后，下面便是在阶跃信号作用下，求系统的阶跃响应（即过渡过程的解析式）。
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3. 过程控制系统过渡过程曲线 为了能较迅速地绘出过渡过程曲线，一般是先找出曲线上的一些特殊的数值，如曲线与直线（最终稳态值）的交点以及曲线的各个极值点，然后列表，绘制出曲线。 （1）绘制阶跃设定作用下的过渡过程曲线 ① 过渡过程曲线与直线z（ｔ）＝0.929的交点时间。 曲线与直线相交，表明式（３-16）等于0.929，则这时： sin（1.013t＋73.5°）＝0 即 1.013t＋73.5°＝π，2π，3π，…，ｎπ（ｎ为正整数）
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（1） 放大系数Ｋ 它表示输出变量y（t）的稳态值y（∞）与输入变量x（t）的稳态值x（∞）之比。 可见Ｋ是系统的静态参数。 在单位阶跃输入时x（∞）＝１，Ｋ的求取：
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（2）时间常数Ｔ 在阶跃输入信号作用下，系统的输出变量y（ｔ）开始上升，当y（t）到达最终稳态值的６３.２％所需要的时间，即为系统的时间常数。
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（4）振荡周期Ｔ（或振荡频率f） 过渡过程曲线从第一个波峰到同方向第二个波峰之间的时间叫做振荡周期或称工作周期，其倒数称为振荡频率或工作频率。在衰减比相等同的条件下，振荡周期与过渡时间成正比，振荡周期短，过渡时间就快。因此，振荡周期也是衡量控制系统快速性的一个质量指标。
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（1）系统在设定值作用下阶跃响应 蒸汽直接加热器的出口处温度工艺要求应在80℃，现调整到81℃，即控制器的设定值增加Δx＝１℃，其Ｘ（s）＝１/s，代入式（３-12）得： Z（t）=0.929-0.97e-0.3tsin（1.013t+73.5o）
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可见Ｔ是系统的动态参数，Ｔ越小，y（ｔ）达到稳态值的时间即过渡过程越短。为了提高系统的响应速度必须减小时间常数Ｔ的值，如图3-2所示。
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二阶过程控制系统的过渡过程 以图２-１（ａ）所示的蒸汽直接加热器出口温度控制系统为例，其原理图和方块图绘成如图３-3所示。
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（2）系统在扰动作用下的阶跃响应 当蒸汽直接加热器的出口温度工艺要求仍保持在80℃不变，而系统扰动来自冷流体温度的波动，由20℃阶跃上升到30℃，即Δｆ＝10℃，其Ｆ（s）＝10/s，代入式（３-11）得：
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对式（３-17）进行拉氏反变换得：
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最大偏差反映系统在控制过程中被控变量偏离设定值的程度，也可以用超调量Ｂ表示，如图3-6所示。超调量是指过渡过程曲线超出新稳定值的最大值，即 Ｂ＝ 最大指示值-新稳定值＝y（ｔp）- y（∞） 所以，图3-６（ａ）中Ｂ＝A -Ｃ，图3-６（ｂ）中Ｂ＝A ＋Ｃ。 对于系统在阶跃设定作用下有时用最大百分比超调量（相对超调量）σ表示，即 相对超调量
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3.1过程控制系统的过渡过程分析 一阶过程控制系统的过渡过程 微分方程式： 传递函数： 当输入x（t）为单位阶跃信号时，在零初始条件下（以后分析如没有特别指明，均理解为初始条件为零），输出y（ｔ）称为单位阶跃响应（如图3-1所示）：
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图3-1（b）是一条指数上升曲线，其变化平稳而不作周期波动，故一阶系统的过渡过程为“非周期”过渡过程。一阶系统有两个特征参数。
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过程控制系统的质量指标 质量指标是衡量控制系统质量的一些数据。根据分析的方法不同，质量指标也有很多形式。微分方程分析法中常用的是以过渡过程形式表示的质量指标，下面就讨论过程控制系统在阶跃信号作用下的过渡过程质量指标。
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（1）最大偏差A（或超调量Ｂ） 最大偏差等于被控变量的最大指示值与设定值之差。 对于在阶跃扰动作用下的控制系统，过渡过程的最大偏差是被控变量第一个波的峰值与设定值之差，如图3-6（a）中的A表示。对于在阶跃设定作用下的控制系统，过渡过程的最大偏差如图3-6（b）中的Ａ表示。
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衰减比n在４～１０之间为宜。如以n＝４为例，当第一波峰值Ｂ＝１时，则第二波峰值Ｂ′为1/4Ｂ，第三波峰值为1/16Ｂ，可见衰减之快。这样，当被控变量受到扰动之后，可以断定它只需经过几次振荡很快就会稳定下来，不会出现造成事故的异常值。因此，衰减比ｎ是表示衰减振荡过渡过程的衰减程度，是反映控制系统稳定程度的一项指标。
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１. 过程控制系统的微分方程式 （1）被控对象的微分方程式 蒸汽直接加热器的数学模型在上一章中已求得，其扰动通道和控制通道的微分方程式为：