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4.1 定积分的概念 课件(北师大选修2-2)(2)

b (1)当f(x)≥0时,∫af(x)dx表示的是 x=a与 x=b , y=0 和 y=f(x) 所围成曲边梯形的面积.
(2)当f(x)(f(x)≥0)表示速度关于时间x的函数时,
b a
f(x)dx表示的是运动物体从 x=a 到 x=b 时所经过的路程.
3.定积分的性质 (1) 1dx= b-a ;
求得过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就 越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩 估计值和不足估计值都趋于要求的值.
1.把区间[0,1]n等分,所得n个小区间,每个小区间的长度 为 1 A.n 3 C.n 2 B.n 1 D. 2n ( )
解析:区间[0,1]的长度为1,被n等分,所以每个小区 1 间的长度为n.
理解教材新知
第 四 章
§1
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
如图,阴影部分是由抛物线f(x)=x2,直线x=1
以及x轴所围成的平面图形.
问题1:通常称这样的平面图形 为什么? 提示:曲边梯形. 问题2:如何求出所给平面图形的面积近似值?
提示:把平面图形分成多个小曲边梯形,求这
些小曲边梯形的面积和.
(1)定积分 ∫b f(x)dx与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 a 分区间,所得值也不同. (2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f(x) 所 a
[例1]
一辆汽车在直线形公路上变速行驶,汽车在
时刻t的速度为v(t)=-t2+5(单位:km/h).试估计这辆汽 车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程. [思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速
直线运动的路程问题,通过求矩形面积问题即可解决.
问题3:你能求出近似值吗?
提示:能.不妨将区间[0,1]五等分,如图所示.
求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S1或S2,即为
曲边梯形面积S的近似值. 问题4:如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示:分割的曲边梯形数目越多,所求得面积越精确.
1.定积分的概念 给定一个在区间[a,b]上的函数 y=f(x),将[a,b]区间分 成 n 份,分点为:a=x0<x1<x2<„<xn-1<xn=b,记 Δxi 为第 i 个小区间[xi-1,xi]的 长度 ,ξi 为这个小区间上一点,使 f(ξi) 在区间[xi-1, i]上的值最大, S=f(ξ1)Δx1+„+f(ξi)Δxi+„ x 设 + f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点 ζi,使 f(ζi)在区间[xi-1, xi]上的值最小,设 s=f(ζ1)Δx1 +„+f(ζi)Δxi+„+f(ζn)Δxn. 如果每次分割后, 最大的 小区间的长度趋于 0,S 与 s 的差
a
b b a b b
(2) kf(x)dx= k f(x)dx (3) a[f(x)± g(x)]dx= (4)af(x)dx=

b a

b a
f(x)dx± g(x)dx
b a

c a
f(x)dx+ f(x)dx

(1+sin x)dx.
[思路点拨]
定积分 ∫ b f(x)dx的几何意义是:介于x a
=a,x=b之间,x轴上、下相应曲边平面图形面积的代 数和,其中x轴上方部分的面积为正,x轴下方部分的面 积为负.
[精解详析]
(1)由y=
4-x2 可知x2+y2=
4(y≥0),其图像如图. π 1 ∫-1 4-x2dx等于圆心角为 的弓形CED的 3 面积与矩形ABCD的面积之和. 1 π 1 π 2π 2 S弓形= × ×2 - ×2×2sin = - 3, 2 3 2 3 3 S矩形=AB· BC=2 3, ∴∫-1
[精解详析]
将区间[0,2]10等分,如图:
S=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72, s=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2 =6.92,
∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与
7.72 km之间.
[一点通]
解决这类问题,是通过分割自变量的区间
2
1 1 1 ×1.22+ ×1.42+ × S= 2 2 2 1 1 2 2 1.6 + ×1.8 + ×2 ×0.2=1.32, 2 2
2
估计误差不会超过S-s=1.32-1.02=0.3.
[例2]
5 2 2
用定积分的几何意义求下列各式的值:
(1)∫1 1 4-x2dx; - (2)
答案:A
1 2 2.求由直线 x=1,x=2 和 y=0 及曲线 y= x 所围成的曲 2 边梯形的面积的估计值,并写出估计误差.
解:将区间[1,2]5等分,分别以每个小区间的左、右端 点的纵坐标为小矩形的高,得此平面图形面积的不足 估计值s和过剩估计值S.
1 1 1 ×12+ ×1.22+ × s= 2 2 2 1 1 2 2 1.4 + ×1.6 + ×1.8 ×0.2=1.02, 2 2
1
2π 2π 4-x dx=2 3+ - 3= + 3. 3 3
2
(2)函数y=1+sin x的图像如图所示,

5 2 2
(1+sin x)dx表示阴影部分的面
积,由图像的对称性可知:

5 2 2
(1+sin x)dx=S矩形ABCD=2π.
[一点通]
利用几何意义求定积分,关键是准确确定
1 1
0
π 1-x dx= . 4
2
解:(1)如图1,
1 0
2xdx表示由曲线y=2x,直线x=0,x=
1 1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积,由S△= 2 ×2×1=1,故 2xdx=1.
0
1
(2)如图2, 的面积.
1 0
1-x2 dx表示圆x2+y2=1在第一象限部分
1 解析:(1)如图: ∫ 0 xdx表示△OAP的面
积, ∫ 1 x2dx表示阴影部分的面积,显然 0
1 ∫0xdx>∫1x2dx. 0
(2)如图:∫1xdx表示△OAB的面积,∫2 0 1 xdx表示梯形ABDC的面积,故∫1xdx< 0
2 ∫1xdx
答案:(1)> (2)<
4.利用定积分的几何意义,说明下列等式. (1) 02xdx=1;(2)
+2=5.
答案:5
-2x+4,x>1, 6.设f(x)= x+1,0≤x≤1,
求∫2f(x)dx. 0
-2x+4,x>1, 解:∵f(x)= x+1,0≤x≤1,
1 ∴ ∫ 2 f(x)dx= ∫ 0 (x+1)dx+ ∫ 2 (-2x+ 0 1
4)dx.又由定积分的几何意义得 1 3 1 ∫0(x+1)dx= (1+2)×1= , 2 2 1 3 5 2 2 ∫1(-2x+4)dx= ×1×2=1,∴∫0f(x)dx= +1= . 2 2 2
[一点通]
利用定积分的性质可将被积函数较复杂
的定积分化为简单函数的定积分,将未知的定积分转 化为已知的定积分;对于分段函数类型的定积分,可 以利用定积分的性质分解求值.
b 5.若∫b f(x)dx=3,∫a g(x)dx=2,则ba[f(x)+ a
g(x)]dx=________.
b 解析: ∫ b [f(x)+g(x)]dx= ∫ a f(x)dx+ ∫ b g(x)dx=3 a a
由S圆=π,得
1
0
π 1-x dx= . 4
2
[例3]
求解以下各题:
1 (1)若 ∫ 0 [f(x)+g(x)]dx=3, ∫ 1 [f(x)-g(x)]dx=-5, 0
则∫1f(x)dx=________. 0 1 b ∫a2f(x)dx=5,则 ∫b[2-f(x)]dx= (2)若 3 a ____________. [思路点拨] 涉及定积分的线性运算时,可考虑用定
b c
.
1.由定义可得定积分
b
a
f(x)dx是一个常数,它的值仅
取决于被积函数与积分上、下限,而与积分变量没有关 系,即 f(x)dx= f(t)dt= f(u)du. 2.性质3对于有限个函数(两个以上)也成立.性质4对 于把区间[a,b]分成有限个(两个以上)区间也成立. 3.利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为 零、积零为整”的过程.
积分的性质进行求解.
[精解详析]
(1)依题意知
1 ∫0f(x)dx+∫1g(x)dx=3, 0 1 ∫0f(x)dx-∫1g(x)dx=-5, 0
两式相加,得2∫1f(x)dx=-2, 0 故∫1f(x)dx=-1. 0 5 b ∫a2f(x)dx=2∫bf(x)dx=5,∴∫bf(x)dx= . (2)∵ a a 2 1 b 1 b 于是 ∫a[2-f(x)]dx= [∫a2dx-∫bf(x)dx] a 3 3 1 5 2 2 5 = (2b-2a- )= b- a- . 3 2 3 3 6 2 2 5 [答案] (1)-1 (2) b- a- 3 3 6
被积函数的图像,以及积分区间,正确利用相关的几何知
识求面积,不规则的图形常用分割法求面积,注意分割点 的准确确定.
3.据定积分的几何意义比较大小,并用“>”“<”或 “=”号连接下列各式: (1)∫1 xdx________∫1 x2dx; 0 0 (2)∫1 xdx________∫2 xdx. 0 1
也趋于 0,此时,S 与 s 同时趋于 某一个固定的 常数 A, 就称 A 是函数 y=f(x)在区间 [a,b]上的定积分,记作 f(x)dx,即 ∫ b f(x)dx=A,其中 ∫ 叫作 积分号 a
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