轴所围成图形的面积的代数和．
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• [解析] (1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以 及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
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(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y ＝3x＋1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下 方的面积，
∴ (3x＋1)dx ＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·2 ＝530－23＝16.
积．从定积分的几何意义不难理解定的积 分性质，即曲边梯实形用文面档 积的和与差．
3．当 f(x)在区间[a，b]上 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含 a
义是什么？ 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝
a
f(x)，x＝a，x＝b，y＝0 所围成的图形的面积的相反数．
• [答案] C
D.112dx 0
• [解析] 由积分的几何意义可知选C.
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二、填空题 4．由正切曲线 y＝tanx，直线 x＝0 和 x＝π4，x 轴所 围成的平面区域的面积用积分表示为________．
[答案] [解析]
tanxdx
由
定
积
分
的
几
何
意
义
可
知
应
表
示
为
∫
π 4
0tanxdx.
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可得大小关系．
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三、解答题 6．利用定积分的几何意义说明下列等式成立．
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5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
(1)1xdx________1x2dx(图 1)；
0
0
(2)1xdx________2xdx(图 2)；
0
1
(3)2 4－x2dx________22dx(图 3)．
0
0
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• [答案] (1)> (2)< (3)< • [解析] 根据定积分的几何意义，结合图形
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• [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、
下限明确； • 解答本题可先根据积分的几何意义求出相
关函数的定积分，再根据定积分的性质进 行加减运算．
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• [解析] (1)如图，
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[点评] 求定积分时应注意利用定积分的性质及几何
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• 1．定积分的概念
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• 定积分的性质①②称为定积分的线性性质．
• 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加
性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定 积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的
定积分去实现． 实用文档
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[例 1] [分析]
求1x3dx. 0
• (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、 下限；
• (4)根据积分的性质写出结果．
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画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面 积．
(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5. (2)y＝log12x，y＝0，x＝12，x＝3.
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[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．
B．[0,2]
• C．[1,2]
D．[0,1]
•
[答案]
[解析]
B解方程组yy＝＝e1x
，yx＝ ＝e2x
可得xy＝＝01 ，xy＝＝2e2
所以积分区间为[0,2]，实故用文应档选B.
• 2．下列式子中不成立的是 ( ) A．∫2aπ＋asinxdx＝∫2bπ＋bcosxdx
B． sinxdx＝ cosxdx
C.πsinxdx＝πcosxdx
0
0
D.π|sinx|dx＝π|cosx|dx
0
0
• [答案] C
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[解析]
由定积分的几何意义知
π
sinxdx>0，
π
cosxdx
0
0
＝0，所以C不成立，故应选C.
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3．下列值等于 1 的是
()
A.1xdx 0
B.1(x＋1)dx 0
C.11dx 0
设此面积为S，则S＝5|sinx|dx 2
或S＝πsinxdx＋5(－sinx)dx
2
π
＝πsinxdx－5πsinxdx. 2
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• 一、选择题
• 1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲 边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分
区间为 ( )
• A．[0，e2]
法是任意的，不一定是等分，只要保证每 一个小区间的长度都趋向于0就可以，采 用等分的方式是为了便于作和．
• ②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定
积分的定义计算定积分时为了方便，常把
ξi都取为每个小区间的左(或右)端点． • 2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝
b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面
这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现
按定义中包含的几个步骤来求1x3dx. 0
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[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1. (2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
n
＝
i＝1
ni 3·1n.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们 此处将 ξi 取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
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(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n(n＋ 2 1)2
＝141＋2n＋n12，
∴1x3dx＝linm→∞ 0
141＋2n＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2
＝n(n2＋1)2)
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因此1x3dx＝14. 0
• [点评] 求定积分的四个步骤：分割、近似 代替、求和、取极限，关键环节是求 和．体现的基本思想就是先分后合，化曲 为直，通过取极限，形成整体图形的面 积．
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利用定积分的定义求b2dx 的值． a
[解析] 令 f(x)＝2. (1)分割： 在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a， b]等分成 n 个小区间a＋(b－an)(i－1)，a＋(b－n a)i (i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－n a.
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(2)近似代替、作和： 取 ξi＝a＋(b－n a)i(i＝1,2，…，n)，
积，故由定义可求，但注意被积函数及积 分上、下限特点可采用几何意义解决．
• [解析] ∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数， 图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方 部分面积与在x轴下方部分面积相等，由 积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.
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• [点评] 当曲边梯形在x轴下方时，积分值 为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积 分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x
∴A1＝1[ x－(－ x)]dx， 0
A2＝4[ x－(x－2)]dx， 1
∴S＝12 xdx＋4( x－x＋2)dx.
0
1
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• [点评] 用定积分表示曲线围成的平面区 域的面积的步骤是：
• (1)准确画出各曲线围成的平面区域； • (2)把平面区域分割成容易表示的几部分，
同时要注意x轴下方有没有区域；
意义．
(1)定积分的性质的推广
①b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx a
＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx；
a
a
a
②bf(x)dx＝ f(x)dx＋ a
cc12f(x)dx＋…＋
f(x)dx(其中 n∈N＋)．
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(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分 ①若奇函数 y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －af(x)dx＝0. ②若偶函数 y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －ag(x)dx＝2ag(x)dx.
意义进行表示．
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[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积
为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx
0
0
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(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成；
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成．
•
1．5.3 定积分的概念
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• 通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程， 了解定积分的背景，借助于几何直观体会 定积分的基本思想，了解定积分的概念， 能用定义求简单的定积分．
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• 本节重点：定积分的定义与性质． • 本节难点：定积分定义的理解．
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• 1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分
0
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• [例4] 利用定积分的性质和定义表示下列 曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝ x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2. [分析] 由题目可获取以下主要信息：
①y＝ x图象为抛物线的一部分；
②x＝y2 为一条抛物线；
③y＝x－2，y＝0，x＝2 均为直线．
解答本题可先准确作出函数图象，再根据图象及几何
则 Sn＝i＝n1fa＋(b－n a)i·b－n a＝i＝n1 2(b－ n a)＝2(b－a)．