则反演映射推广到扩充复平面 C
定理6.1 复反演映射具有将圆周映射成圆周
的特性（保圆性）和保角性.
证明: 记z x iy, w u iv,根据等式w 1 得 z
u x ,v y , x u , y v
x2 y2
x2 y2
u2 v2
u2 v2
Dw Dz
,
Arg
f


z0


lim
Dz0

0
0
y
(z) Dz P
P0 z0 r z C
0
vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(w)
Q0
Dw
r
w0
Q
w
G
0
O
x
O
u
5
y
(z)
v
(w)
Dz P P0 z0 r z C
Dw Q
w
Q0 w0 r
G
0
0
O
x
O
u
根据复合函数求导法连锁规则, 有w '(t0)=f '(z0)z '(t0)0.
2,
旋转角是
4
注意 : w z2在z 0处就不是保角映射
13
根式函数z= n w : 0 n0
0

0
(0

2
n
)
于是 w=zn和z= n w 的映射特点是扩大与缩小角形域。
(z)
O 0
z= n w
(w)
n0
O
14
定理一 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且 f '(z0)0, 则映射w=f (z)在z0具有两个性质:
1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。
2)伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均 为|f '(z0)|而与其形状和方向无关.
15
定理一的几何意义.
y (z)
C2
v (w) G2
z0 a
C1
O
w0
xO
G1
u
在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一
3.对数函数的主值分支ln z ln | z | i arg z,
是w ez在0 Im z 2上的反函数
20
6.1 几个初等函数的映射
6.1.1.线性变换 : w az b.(伸缩,旋转和平移的复合) 根据复数的指数表达式,记a | a | eia ,b b1 ib2 Z ( a r)ei(a ) , w Z b Z b1 ib2
24
方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0 满足b2 c2 4ad时 a=0表示直线,表示a0圆周
代入x,y 变为方程 d(u2+v2)+bucv+a=0。 当a0,d0：圆周映射为圆周; 当a0,d=0：圆周映射成直线; 当a=0,d0：直线映射成圆周； 当a=0,d=0：直线映射成直线. 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者
因此,
表示
z(t0 )
lim Δ t 0
z(t0
Δ t) Δt

z(t0 )
的向量与C相切于点z0=z(t0), 且方向与C的正向一致.
3
因此,我们有
1) Arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角; 2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它
们交点处切线正向间夹角
8
率. 3)
|
f
( z0
)
|
lim
zz0
w w0 z z0
Dw lim
Dz0 Dz
称为C在z0的伸缩
上式表明 |f '(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比
值的极限，从而可视为映射w=f (z)在点z0处沿曲线C的伸 缩率, 它与曲线 C 的形状及方向无关. 所以这种映射又具有
(z)
C1
z0
C2
O
x
4
1.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f (z)在区域D内
解析, z0为D内的一点, 且f '( z0)0. 又设C为z平面内通过点
z0的一条有向光滑曲线: z=z(t), atb,且z0=z(t0), z '(t0)0,
a<t0<b. 映射w=f (z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点
（x0 单位圆周,x<0 单位圆内,x>0 单位圆外）
= y： z平面上水平直线y映射成w平面上射线 。
y (z)
ai
O
y (z) 2i
v
(w)
x
O
w=ez
z=lnw
arg w=a u
v (w)
O
u
O
x
带形域0<Im(z)<a映射成角形域0<arg w<a. 特
别是带形域0<Im(z)<2 映射成沿正实轴剪开的w 平面:0<arg w<2.它们间的点是一一对应的.
条曲线的夹角.
则1 / z在整个扩充复平面是保形的.
26
例6.2 求直线x a, (a 0),在映射w 1 下的像
z
解:
z

a
iy, w

1 z

a2
a
y2
i
y a2 y2
27
例6.3 右半平面x c1, (c1
0),在映射w 1 下变为何区域 z
28
§6.2 分式线性映射
因此, 在G上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向
的夹角是Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0).
即Arg f '(z0)= Arg w '(t0)Arg z '(t0) 0 0. 若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹
角理解为曲线C经过w=f (z)映射后在z0处的转动角, 则
(由单值性可知0

2
n
)
(w)
(z)
w=zn
O 0
特别，0



2
n
(z)
2
n
O
n0
O
沿实轴剪开的w平面:0 2 .
w=zn
(w)
上岸 O 下岸
12
例1 求w=z2把角形域0<arg z</4映射成何区域
f 1 i 2(1 i) 2
i
2e
4
在z

i处的伸缩率是2
说, 映射w=1/z具有保圆性.
25
讨论保角性: w

1 z
,这时w


1 z


1 z2
当z 0, z 时是解析函数,因此是保形映射.
而当z 0时w , z 时w 0,对这两点作保
形映射的补充规定,任何穿过z 0点的两条曲
线在0点的夹角,就是w 1 / z在无穷远处的两
个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应
边长之比近似为|f '(z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近
似相似.
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定理二 如果函数w =f (z)在 z0 解析, 且 f '(z0)0, 则映射 w=f (z)在 z0 是保形的, 而且Arg f '(z0)表示这个映射在 z0 的转动角, |f '(z0)|表示伸缩率. 如果解析函数w=f (z)在 D内是一一的,且处处有f '(z)0, 则映射w=f (z)是 D内的保形映射.
7
y (z)
C2
v
(w) G2
z0 a
C1
O
w0
xO
G1
u
相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小
和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与
G2之间的夹角, 所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方
向不变的性质.这种性质称为保角性.
1 1 2 2 2 1 2 1 a
w az b cz d

a c

b d

ad
bc

0

当c 0时, w a z b 是线性变换(ad 0) dd
保形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一 点保角，在每一点具有伸缩率不变性。
例如函数 w ez 在 0 Imz 4 不是保形的； 在 0 Im z 2 是保形的。
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2. 指数函数 w = e z由于在z平面内w‘= e z 0。所以,
由 w = e z所构成的映射是0<y<2上的保形映射. 设z =x+iy, w =r e i, 则w = e z =e x+iy =r e i 推出 r= e x ：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r；
伸缩率不变性.
上式可视为 f z f z0 f z0 z z0
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离伸长；
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离缩短；
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离不变。
9
2. 保形映射的概念 定义 设函数w = f (z)在z0的邻域内是一对一的, 在z0具有 保角性和伸缩率不变性, 则称映射w = f (z)在z0是保形的, 或称w = f (z)在z0是保形映射. 如果映射w = f (z)在D内的 每一点都是保形的, 就称w = f (z)是区域D内的保形映射.