初中数学竞赛辅导资料之因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x 3－5x 2+9x －6＝0，∴原式有一次因式x －2，∴x 3－5x 2+9x －6＝（x －2）（x 2－3x+3,）②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数±1，±3得商±1，±2，±21，±23，再分别以这些商代入原式求值可知只有当x=21时，原式值为0。
故可知有因式2x-1解：∵x=21时，2x 3－13x 2+3＝0，∴原式有一次因式2x －1， 设2x 3－13x 2+3＝（2x －1）（x 2+ax －3）， （a 是待定系数）比较右边和左边x 2的系数得 2a －1＝－13， a=－6∴2x 3－13x+3＝（2x －1）（x 2－6x －3）。
例4因式分解2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20解：∵2x 2+3xy －9y 2＝（2x －3y ）(x+3y), 用待定系数法，可设2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y ＋a ）（x+3y ＋b ），a,b 是待定的系数，比较右边和左边的x 和y 两项 的系数，得⎩⎨⎧-=-=+333142b a b a 解得54==b a ∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)又解：原式＝2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20) 这是关于x 的二次三项式常数项可分解为－（3y －4）（3y+5）,用待定系数法，可设2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20)＝［mx －（3y －4）］［nx+（3y+5）］比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)丙练习191．分解因式：①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4－23x2y2+y42. 分解因式：①x3+4x2－9 ②x3－41x+30③x3+5x2－18 ④x3－39x－703. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3－3x2+3x+7③x3－9ax2+27a2x－26a3 ④x3+6x2+11x+6⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：①3x3－7x+10②x3－11x2+31x－21③x4－4x+3 ④2x3－5x2+15. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－916．分解因式：①x2y2+1－x2－y2+4x y ②x2－y2+2x－4y－3③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）7.己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法3．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x 4+1若添上2x 2可配成完全平方公式解：x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1－x 2=(x 2+1)2－x 2=(x 2+1+x)(x 2+1－x)②分析：a 3+b 3要配成（a+b ）3应添上两项3a 2b+3ab 2解：a 3+b 3+c 3－3abc ＝a 3+3a 2b+3ab 2＋b 3+c 3－3abc －3a 2b －3ab 2＝（a +b ）3+c 3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c 2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc)例2因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1④ 分析：把中项－11x 拆成－16x+5x 分别与x 5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）⑤ 解：x 3－11x+20＝x 3－16x+5x+20＝x （x 2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x －4)+5(x+4) =(x+4)(x 2－4x+5)⑥ 分析：添上－a 2 和a 2两项，分别与a 5和a +1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a 5+a+1＝a 5－a 2+a 2+a+1=a 2(a 3－1)+ a 2+a+1=a 2(a －1)( a 2+a+1)+ a 2+a+1= (a 2+a+1)(a 3－a 2+1)4． 运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a 时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x －a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3 ①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x 3－5x 2+9x －6＝0，∴原式有一次因式x －2，∴x 3－5x 2+9x －6＝（x －2）（x 2－3x+3,）②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数±1，±3得商±1，±2，±21，±23，再分别以这些商代入原式求值可知只有当x=21时，原式值为0。
故可知有因式2x-1解：∵x=21时，2x 3－13x 2+3＝0，∴原式有一次因式2x －1， 设2x 3－13x 2+3＝（2x －1）（x 2+ax －3）， （a 是待定系数）比较右边和左边x 2的系数得 2a －1＝－13， a=－6∴2x 3－13x+3＝（2x －1）（x 2－6x －3）。
例4因式分解2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20解：∵2x 2+3xy －9y 2＝（2x －3y ）(x+3y), 用待定系数法，可设2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y ＋a ）（x+3y ＋b ），a,b 是待定的系数， 比较右边和左边的x 和y 两项 的系数，得⎩⎨⎧-=-=+333142b a b a 解得54==b a ∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)又解：原式＝2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20) 这是关于x 的二次三项式 常数项可分解为－（3y －4）（3y+5）,用待定系数法，可设2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20)＝［mx －（3y －4）］［nx+（3y+5）］比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)丙练习192． 分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4 ②x 4+4 ③x 4－23x 2y 2+y 42. 分解因式： ①x 3+4x 2－9 ②x 3－41x+30③x 3+5x 2－18 ④x 3－39x －703. 分解因式：①x 3+3x 2y+3xy 2+2y 3 ②x 3－3x 2+3x+7③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3④x 3+6x 2+11x+6 ⑤a 3+b 3+3(a 2+b 2)+3(a+b)+24. 分解因式：①3x 3－7x+10 ②x 3－11x 2+31x －21③x4－4x+3 ④2x3－5x2+15. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91 6．分解因式：①x2y2+1－x2－y2+4xy ②x2－y2+2x－4y－3③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）8.己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值。