吉林一中2017-2018学年高二下学期月考 数学（文科）试题 一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1.已知i 是虚数单位，复数iiz +=12，则=-2z A. 2 B.22 C.2 D.1 2.已知直线0=++c by ax 不经过第一象限，且0>ab ，则有A ．0<cB ．0>cC ．0>acD ．0<ac3.已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，则另一组数3x 1－2，3x 2－2，3x 3－2，3x 4－2，3x 5－2的平均数，方差分别是A ．4,3B ．2,1C ．4，23D ．2，134.若将长为6的一条线段分成长度为正整数的三条线段，则这三条线段可以构成三角形的概率为 A ．21 B. 31 C ．41 D ．515.直线01=--y x 与圆224x y +=交于 A B 、两点，则AB =A C ．2 D 6.下列说法错误的是A.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合的精确度越高D.在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好 7.在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=+的圆心的极坐标是A.(1,)2π B.(1,)4π C.)4π D.)2π8.数列12，13，23，14，24，34，...，11m +，21m +， (1)m +…的第20项是A.58B.34C.57D.679.已知2=x 是函数23)(3+-=ax x x f 的极小值点, 那么函数)(x f 的极大值为 A.18 B.17 C.16 D.1510.已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线01=+-y ax 垂直, 则=aA.12-B.12C ．2-D ．211.某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为A ．23 B ．25 C ．35 D ．91012.已知01)1(ln ≥++-x a x x 对任意]2,21[∈x 恒成立，则实数a 的最大值为A.0B.1C.2D.3 二、填空题：（每小题5分，共计30分）13.曲线⎩⎨⎧==ααsin 4cos 6y x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθsin 24cos 24y x （θ为参数）的交点个数为_______个.14.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为 .15.已知点)2,1(A 和点)1,2(B ，若直线1+=kx y 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是 .16.已知直线1l :(1)20x m y m +++-=与直线2l :280mx y ++=平行，则经过点(3,2)A 且与直线1l 垂直的直线方程为________．17.有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 . 18.若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a = .三、解答题：（共计60分） 19.（本小题满分15分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算此段公路通过的车辆的时速的平均数，众数，中位数的估计值；（Ⅱ）现想调查车辆的某种性能，若要在速度较高的2个时速段中，按照分层抽样的方法，抽取6辆车做调查，计算各时速段被抽取的车辆的个数；（Ⅲ）若将这6辆车分别编号为1，2，3，4，5，6，且从中抽取2辆车，求这两辆车的编号之和不大于10的概率.20.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P (2,0)作斜率为1的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值.）C21.（本小题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，N 是PB 的中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 中点.（Ⅰ）求证：EN ∥平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PEB ； （Ⅲ）求三棱锥M PBE -的体积.22.（本小题满分15分） 已知函数()1ln af x x a x x+=+-.（Ⅰ）若函数()y f x =的图象在1x =处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下方程()f x b =在区间[]1,e 上有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围.吉林一中14级高二下学期月考（5月份） 数学（文科）试题答案 一、选择题：（每小题5分，共计60分） CCABA BCCAD D A二、填空题：（每小题5分，共计30分）13. 4 14.1)1(22=-+y x 15.]1,0[ 16. 240x y --= 17.3218. 1三、解答题：（共计60分） 19.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）众数为 65平均数为450.1550.3650.4750.262⨯+⨯+⨯+⨯= 中位数为60+1104⨯ =62.5 （Ⅱ）由图可知，较高速度的2个时速段中的比值为2:1 由分层抽样方法可知，各时段的抽取车辆分别为4个和2个 （Ⅲ）设事件A 为两辆车的编号之和不大于10，（列举过程略） 则P （A ）=11411515-=20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由)4πρθ+得=4cos 4sin ρθθ-，θρθρρsin 4cos 42-= 根据222cos ,sin x y x y ρθρθρ===+，得 圆C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -++=（Ⅱ）设A,B 两点对应的参数为12,,t t，2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与圆的方程联立得240t +-=所以121240t t t t +=-=-<根据参数t 的意义可知212112121212||||||1111||||||||||||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====21.（本小题满分15分）解：（Ⅰ） ∵AD BC 且BC PBC ⊆平面 ∴AD PBC 平面 又∵平面ADMN 经过AD 与平面PBC 交于MN ∴AD MN∵N 为PB 中点 ∴MN 为ABC ∆的中位线 ∴12MN BC又∵E 为AD 中点12DE BC ∴MN DE∴四边形EDMN 为平行四边形 ∴EN DM又∵DN PCD ⊆平面 ∴EN PCD 平面 （Ⅱ）联结BE 、BD∵=AD AB 且=60DAB ∠︒ ∴ADB ∆为等边三角形 ∴BE AD ⊥ 同理，在等边PAD ∆中，PE AD⊥且=BE PE E ，∴AD PEB ⊥平面同时，BC AD ，∴BC PEB ⊥平面 （Ⅲ）BC MN ，∴MN PEB ⊥平面，∴MN 为M 到平面PEB 的距离 ∵PE ABCD ⊥平面，∴PE BE ⊥，即=90PEB ∠︒=PE BE =∴1132M PBE PBE V MN S -∆=⋅=22 .（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，x axa x f -+-=2'11)(. 由题意21111)1(2'-=-+-=aa f ，解得1=a （II ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，当1=a 时，x x x x f ln 2)(-+=，22')2)(1(121)(x x x x x x f -+=--=在)2,1(上，0)('<x f ，)(x f 单调递减， 在),2(e 上，0)('>x f ，)(x f 单调递增e e ef f 21)(,3)1(+-==，)()1(e f f >，2ln 3)2(-=f .由题意)()2(e f b f ≤<，即ee b 212ln 3+-≤<- （Ⅲ）在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x f 成立等价于]),1[(,0)(min e x x f ∈<，22')]1()[1(11)(x a x x x a x a x f +-+=-+-=， ①当11≤+a 时，即0≤a ，在),1(e 上0)('>x f ，)(x f 单调递增，02)1()(min <+==a f x f ，可得2-<a②当e a <+<11时，即10-<<e a ，在)1,1(a +上，0)('<x f ，)(x f 单调递减，在),1(e a +上，0)('>x f ，)(x f 单调递增， )1ln(2)1()(min +-+=+=a a a a f x f因为1)1ln(0<+<a ，所以a a a <+<)1ln(0，2)1ln(2)1(>+-+=+a a a a f ， 此时0)1(<+a f ，不成立③当e a ≥+1时，即1-≥e a 时，在),1(e 上0)('<x f ，)(x f 单调递减，01)()(min<-++==a e a e e f x f ，可得112-+>e e a ，因为1112->-+e e e ，所以112-+>e e a 综上可得，所求实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+⋃--∞e e。