0 2π π 4 0
.
0 x

y
2 acosφ
0
f ( rsinφ cos θ , rsinφ sinθ , rcos φ ) r 2 sinφ dr
例4: 求 ( x 2 y 2 )dxdydz , : 锥面x 2 y 2 z 2 与平

面z a (a 0) 所围的立体 .
0 0
2π
π 2 0
R
I dθ dφ f r 2 sinφ dr
0 0 0
π
π
R
5 为球体的第一、二卦限部分
I dθ dφ f r 2 sinφ dr
0 0
. . . . .
π
π 2 0
R
3
已知 : x y ( z a) a ,

二、典型例题
适用范围 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离
1
: 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限 z 所围成的区域。

求 I f ( x , y , z )dxdydz
z
x y z . 计算
I f ( x , y , z )dxdydz

化为球系下的方程 r=2a cos
M
M
: 0 r 2a cos
0 2
π 0 φ 4
.
a
r
φ π 4

P164.10.(2)
I dθ dφ
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径
0
r
R
y
x
1
: 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限 z 所围成的区域。

求 I f ( x , y , z )dxdydz
M
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径
r

0
y

N
y
这样的三个数 r ,x ,叫做点M的球面坐标.
球面坐标的坐标面
z
规定0 r , 0 π, 0 2 π.
动点M(r,,) S
0
M
r
r =常数: 球面S
=常数:
x
y
球面坐标的坐标面
动点M(r,,)
z
C
r =常数: 球面S
=常数: 锥面C
解1: 在球面坐标系中计算 a π :0 r , 0 , 0 2π. cos 4 2 2 ( x y )dxdydz

d d
0
2π
π 4 0
a cos 0
r 4 sin3dr
π 5 a . 10
解2
在柱面坐标系中计算
D xy : x 2 y 2 a 2 .
x y z R
I dθ dφ f r 2 sinφ dr
0 0 0
2π
π
R
2 为空心球体
.
R 添加 x y z 为洞
I dθ dφ R f r 2 sin φ dr
0 0 2
2π
π
R
3 为上半球体 4 为右半球体
I dθ dφ f r 2 sin φ dr
半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
rsind
dV r 2 sin drdd
r
f ( x , y, z )dxdydz



f (r sin cos , r sin sin ,

0

d
.
y
rcos ) r 2 sin drdd
x
体积元素 dv r 2 sindrdd .
z r sin d
r sin dr
把三重积分的变量从直角坐 标变换为球面坐标的公式
f ( x , y , z )dxdydz


O
r
rd d
y
x d f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindrdd .
一、球面坐标系
设M ( x , y , z )为空间内一点, 则点 M可用三个有次序的数r , , 来确定.z
z
r : 原点O与点M间的距离,
. z轴正向 : 有向线段OM与 .
M(r,,)
所夹的角,
.
: 有向线段OM在xOy面上
的投影向量与x轴正向的夹角
r
x rsin cos y rsin sin x z rcos
.
π 2
R
y
π
x
π 2 0 π 2 0 R
.
I dθ dφ f ( r sinφ cos θ , r sinφ sinθ , r cos φ )r 2 sinφ dr
0
2
球系下确定积分限练习

求 I f ( x , y , z )dxdydz

1 为全球体
.
π 2

R
y
π
x
: 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限 z 所围成的区域。 当 f =1, I=V 求 I f ( x , y , z )dxdydz
1

任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径

0Байду номын сангаас
对: 从0 积分， 得锥面 对 : 从0 2 积分，得球体
=常数: 半平面P
S
0
M

P

.
x
y
16. 球面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成：
z
圆锥面 球面r+d r
半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
rsind
r
圆锥面+d

0

x
d
y
16. 球面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成：
z
0
对: 从0 积分，
π 2

R
y
.
x
1
: 球面 x y z R及平面x , y , z 在第一卦限 z 所围成的区域。

求 I f ( x , y , z )dxdydz
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径

0
对: 从0 积分， 得锥面 对 : 从0 2 积分，得球体
0 2 π.
x2 y2 z2 z .
: z a, 0 a,