三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步，即21(,,)[(,,)]zc c D f x y z dxdydz f x y zd dz σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 当被积函数()f z 仅为z 的函数（与 x y ，无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系下进行计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)：(1) D 是 X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）；(2) D 是圆域（或其部分），且被积函数形如22 ()( )yf x y f x+，时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；(3) Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算。
以上是一般常见的三重积分的计算方法，对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情 形不赘述。
三重积分的计算方法小结：1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数() f x y z ，，的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）： 较直观易掌握；截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。
特殊地，对z D 积分时，(),,f x y z 与, x y 无关，可直接计算z D S 。
因而Ω中只要[] z a b ∈，, 且(),,f x y z 仅含z 时，选取“截面法”更佳。
2. 对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或22()z f x y +时，可考虑用柱坐标计算。
三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面000x y z ===，，围成的闭区域。
解法一：“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面投影域D 。
2. “穿线”y x z −−≤≤10X 型 D ：xy x −≤≤≤≤101∴Ω：y x z x y x −−≤≤−≤≤≤≤101013. 计算 .I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰1110x yx I zdxdydz dx dyzdz −−−Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11201(1)2xdx x y dy −=−−⎰⎰122310011[(1)(1)]23x x y x y y dx −=−−−+⎰ 241]4123[61)1(6110410323=−+−=−=⎰x x x x dx x解法二：“截面法”1. 画出Ω。
2. [01] z ∈，过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。
z D 是两直角边为 x y ，的直角三角形， 11x z y z =−=−，3. 计算1[]zD I zdxdydz zdxdy dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11[]zzD D z dxdy dz zSdz ==⎰⎰⎰⎰110011()(1)(1)22z xy dz z z z dz ==−−⎰⎰ 123011(2)224z z z dz =−+=⎰ 补例2： 计算22x y dxdydz +⎰⎰⎰， 其中Ω是222z y x =+和1z =围成的闭区域。
解法一：“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面的投影区域D. 由2221z x y z ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去z ，得122=+y x 即D ：122≤+y x 2. “穿线”122≤≤+z y x ，X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−≤≤−221111x y x x ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+−≤≤−−≤≤−Ω11111:2222z y x x y x x3. 计算22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰解：22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰2221112211xxx y dxdyx y dz −−−−+=+⎰⎰⎰2211222211(1)x x dxx y x y dy −−−−=+−+⎰⎰6π=（注：可用柱坐标计算。
）解法二：“截面法”1. 画出Ω。
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z z r πθ2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+z D ： ⎩⎨⎧≤≤≤≤zr 020πθ下面用柱坐标计算积分结果3. 计算：122220[]zD x y dxdydz x y dxdy dz Ω+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220[]zd r dr dz πθ=⎰⎰⎰113300122[]33zr dz z dz ππ==⎰⎰6π=补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω是由222x 2z 2−=+=及y x z 所围成的闭区域。
解：使用“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面上的投影区域D.由 22222z x y z x⎧=+⎪⎨=−⎪⎩消去z ，得122=+y x即 D ：122≤+y x 2. “穿线” 22222x z y x −≤≤+X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−≤≤−221111xy x x Ω：22222111122x x y x x y z x −≤≤⎧⎪⎪−−≤≤−⎨⎪⎪+≤≤−⎩3．计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω−−−−−+==11112222222),,(),,(x x x y x dz z y x f dydxdxdydz z y x f I注：当),,(z y x f 的解析式已知时，可用柱坐标计算。
补例4：计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为22226y x z y x z +=−−=及所围成的闭区域。
解法一：使用“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面的投影区域D ， 用柱坐标计算由⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos 化Ω的边界曲面方程为：z = 6 - r 2，z = r2. 解262=⎩⎨⎧=−=r rz r z 得 ∴D ：2≤r 即⎩⎨⎧≤≤≤≤2020r πθ “穿线” 26r z r −≤≤ ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤≤≤≤≤Ω262020:r z r r πθ3．计算.zdxdydz Ω⎰⎰⎰26[]r Drzdxdydz zdz rdrd θ−Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22226226012[]2r r r rd rdrzdz r z dr πθπ−−==⎰⎰⎰⎰22220[(6)]r r r dr π=−−⎰2250(3613)r r r dr π=−+⎰923π=解法二： “截面法”1. 画出Ω，如右图：Ω由r z r z =−=及26围成。
2. ]6,2[]2,0[]6,0[ =∈z 21Ω+Ω=Ω1Ω由z=r 与z=2围成； ]2,0[∈z ，z D ：z r ≤1Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤20020z z r πθ2Ω由z=2与z=26r −围成； ]6,2[∈z ，z D ：z r −≤62Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−≤≤≤≤626020z z r πθ3. 计算.zdxdydz Ω⎰⎰⎰解：12zdxdydz zdxdydz zdxdydz ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12262[][]z z D D z rdrd dz z rdrd dz θθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12262z z D D zSdz zS dz =+⎰⎰262202[()][(6)]z z dz z z dz ππ=+−⎰⎰263202(6)z dz z z dz ππ=+−⎰⎰923π=注：被积函数z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r 代换。
补例5： 计算22()x y dxdydz +⎰⎰⎰，其中Ω由不等式A z y x a ≤++≤≤2220，0≤z 所确定。
解：用球坐标计算。
由⎪⎩⎪⎨⎧===φρφθρφθρcos sin sin sin cos z y x 得Ω的边界曲面的球坐标方程：A a ≤≤ρP Ω∈，连结OP=ρ，其与z 轴正向的夹角为φ，OP=ρ。
P 在xoy 面的投影为P '， 连结P O '，其与x 轴正向的夹角为θ。
∴ Ω：A a ≤≤ρ，20πφ≤≤，πθ20≤≤2/2222220()(sin )sin Aax y dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰/235012sin []5Aa d ππϕρϕ=⎰/255302()sin 5A a d ππϕϕ=−⎰5522()153A a π=−⨯⨯554()15A a π=− 三重积分的计算方法练习1. 计算22)x y dxdydz +⎰⎰⎰（，其中Ω是旋转抛物面z y x 222=+与平面z = 2 , z = 8所围成 的闭区域。