Qan =1+ 2 + 2 +... + 2
2 2
n−1
= 2 −1
n 3 n
∴sn = (2 −1) + (2 −1) + (2 −1) +...(2 −1)
= (2++ 2 +... + 2 ) − n n 1
2 n
= 2 −2−n
这个数列的各项均是由等差数列构成的， 这个数列的各项均是由等差数列构成的，因此可 先求出通项公式，最后求和。 先求出通项公式，最后求和。
n+k + n k
1 1 1 练习： 练习：求和 1+ 1+ 2 + 1+ 2 + 3 +... + 1+ 2 +... + n
对类似数列(3)的求和问题 的求和问题， 【推广 】对类似数列 的求和问题 ，我们可以推广到 一般情况： 是公差为d的等差数列 一般情况：设{an}是公差为 的等差数列，则有 是公差为 的等差数列，
1 1 1 = − n(n+1) n n - 1 ；
1 1 1 1 = − (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
1 1 1 1 = n(n+1) − (n+1)(n+ 2) n(n+1)(n+ 2) 2
1 1 1 1 = a a La − a a La a1a2 Lan (n - 1)d 1 2 n-1 2 3 n
1 1 1 1 1 1.数列 1 ， ， ， ， ，n −1) + n ， 数列 3 5 7 L (2 L 2 4 8 16 2
的前n项之和为 的值得等于( 的前 项之和为Sn，则Sn的值得等于 项之和为
1 (A) n +1− n 2 1 2 (C) n +1− n-1 2
2 2
A)
1 (B) 2n − n+1− n 2
本课小结： 本课小结： 数列求和的一般步骤： 数列求和的一般步骤：
等差、等比数列直接应用求和公式求和。 等差、等比数列直接应用求和公式求和。 非等差、等比的数列， 非等差、等比的数列，通过通项化归的思 想设法转化为等差、等比数列， 想设法转化为等差、等比数列，常用方法 有倒序相加法、错位相减法、 有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法 不能转化为等差、等比的数列， 不能转化为等差、等比的数列，往往通过 裂项相消法求和。 裂项相消法求和。 作业：练习册 作业：练习册——数列求和 数列求和
(D) n2 − n+1− 1 n
2
2．若数列{an}中n，an=-2[n-(-1) n]， ．若数列 中 ]拆分成 ， n 关键点： 拆分成-2n+(-1) 关键点：将a =-2[n-(-1) 拆分成
n
求S10和S99 .
【 例 1】 等比数列的首项为 ， 公比为 ， 】 等比数列的首项为a， 公比为q， Sn为前 项的和，求S1+S2+……+Sn． 为前n项的和 项的和，
错位相减求和法
例3：求和 a+2a2+3a3+…+nan ：
(n∈N, a ≠ 0)
解：记sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan 则asn= a2+2a3+…+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 两式相减，得 两式相减， （1-a)sn=(a+a2+a3+…+an)-nan+1 n(n +1) 若 a=1, 则 sn=1+2+…+n= 2 a(1−an ) nan+1 − 若a≠1, 则sn= 2 (1−a) 1− a
小结
拆项并组求和法： 拆项并组求和法： 把数列的每一项分成几项， 把数列的每一项分成几项，或把数列的项 在一块重新组合， “集”在一块重新组合，或把整个数列分成几 部分，使其转化为等差或等比数列， 部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和 方法称为分组转化法. 方法称为分组转化法
求数列 1，（1+2），（1+2+22），…， 练习： 练习： （1+2+22+…+2n-1) …的前n 项和Sn 解：
1 2 项和 时，若公比 是字母，为避免 3 n 若公比q是字母 注意：在求等比数列前n项和 注意：在求等比数列前 , 项和sn 练习：数列 , ,... n ,...的前是字母， n 项和是？ 疏忽，宜先求q=1时的 8然后再求 时的s 然后再求q≠1时的 n 时的s 疏忽，宜先求 2 时的 n,然后再求 时的 4 2
关键： 关ห้องสมุดไป่ตู้：求出通项公式
例2：求和 （1） （2）
1 1 1 1 + + +... + 1• 2 2•3 3• 4 n• (n +1 ) 1 1 1 1 + + +... + 1•3 2• 4 3•5 n • (n + 2 )
裂项相消求和法： 裂项相消求和法： 把数列的通项拆成两项之差， 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一 1 1 1 1 = ( ) 项都可按此法拆成两项之差， − 项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正 n(n + 常用的裂项技巧： 于是前 k) k n n + k 负项相互抵消， 负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少 项的和变成首尾若干少 1 1 数项之和，这一求和方法称为裂项相消法. 数项之和，这一求和方法称为裂项相消法) = ( n+k − n