易经卦变数学结构作者：唵啊吽定义一：一个卦g在易经中有六爻组成，从下至上六个爻为分别定义为初、二、三、四、五和上爻位。

每个爻位可以放两种爻之一，阴爻和阳爻。

阴爻名六，阳爻名九。

例1.1：乾卦的卦像就是｛初九、九二、九三、九四、九五、上九｝，坤卦的卦像就是｛初六、六二、六三、六四、六五、上六｝。

推理1.1：一个卦g就是六维布尔空间中一个点（a、b、c、d、e、f）。

例1.2：乾卦就是（1、1、1、1、1、1），坤卦就是（0、0、0、0、0、0）。

推理1.2：六维布尔空间总共有64个点。

这些点的集合G就是易卦空间。

一个卦变f，就是G 到G的一个映射，或G到G的一个函数，或定义在G空间上的一个单元素操作。

中国易学中所有卦变F组成一个G到G的映射的集合。

下边让我们整理这个中国易学卦变集合的元素。

1、消息。

定义2：将一个卦g中的某些爻变性，得到一个新卦g’，称为消息。

有阳变阴谓之消，由阴变阳为之息。

如蒙卦（0、1、0、0、0、1）消二息一就变成颐卦（1、0、0、0、0、1）。

对于一个卦，总存在一个消息将其变为任意指定的另一个卦。

即总共应该有63个消息操作。

如果我们把零消息操作加进去，即无消无息也算作一个消息操作，那么我们就有64个消息操作。

这六十四个消息组成G的共轭空间F。

这样，卦像空间G 包涵64个卦象g（b），消息操作空间F包涵64个消息操作f（b），其中b是六维布尔空间的一个点。

即对应于六维布尔空间的一个点b，我们可以有一个易卦g(b)和一个消息f（b）。

例如比卦（0、0、0、0、1、0）可以代表易卦空间G中的一个卦象，也可以代表消息F中的一个消息f（5），即第5爻变性的消息操作。

定义3：当一个卦象用做代表一个G到G的映射的时候，消息象中的阳爻指示本卦相应爻位上的爻为变爻，消息象中的阴爻指示本卦相应爻位上的爻为不变爻。

例3.1：履卦（1、1、0、1、1、1）用作代表消息操作的时候，就表示初、二、四、五、上为变爻，等价于消息f（12456）。

例如f（12456）泰卦（111000）＝遁卦（001111），即履卦代表消息操作的时候，把本卦泰卦变为变卦遁卦。

消息在占卜中有普遍的应用。

占卦是占得本卦和变爻，则变爻改变爻性得到变卦，这就是消息操作。

乾卦对应于f（123456），即六爻皆变。

坤卦对应于零消息f （0），即不变，或没有占得变爻。

即乾卦对应于极大的消息，坤卦对应于极小的消息。

乾卦至动，坤卦至静。

定理1：任何一个消息作用两次等于零消息。

如f（5）将第5爻变性，消息第5爻，变性一次以后，得到新卦，用f（5）对新卦再操作一次，则返回本卦。

定理1表达为f（b）f（b）＝f（0）。

即重复使用一个卦对应的消息操作等于坤卦对应的消息操作，即零操作。

推理1.1：在消息空间中，乾乾为坤；其中乾和坤不是卦象，而是消息象。

推理1.2：在消息空间中，所有卦的平方都是坤。

即乾乾为坤，但坤坤还是坤。

坤主聚，如大海纳百川。

注意，这里说的是消息空间，是操作符空间，有别于易卦象空间。

消息空间中消息象中阳爻指示变爻的爻位，而阴爻指示不变的爻位。

传统习惯是对一事只能占卦一次，再占就不灵了。

不能占到自己不喜欢的卦就不要，重新再占一次。

我以为这种传统和定理一并没有必然关联，传统是对占卦人的权威的尊重和对所得卦神机的敬重。

2、旁通。

旁通就是将一个卦的所有爻都变性卦变为新卦。

如乾卦的傍通就是坤卦。

需卦（1、1、1、0、1、0）旁通就变为胥卦（0、0、0、1、0、1）。

旁通是消息的一个特例，就是乾卦代表的消息操作。

3、往来。

往来就是两个不同爻位上的爻交换。

如屯卦（1、0、0、0、1、0）二五往来就卦变为临卦（1、1、0、0、0、0）。

往来操作共有5+4+3+2+1＝15个。

对于这15个往来操作中的7个屯卦变回自身，或者说，对于其中7个往来操作，屯卦是不动点。

定理2：任何一个往来操作w（ij），把易卦象空间G分为这样两个子卦象空间：i 爻位与j爻位爻性相同的卦组成子卦象空间E（ij），i爻位与j爻位的爻性不同的卦组成的子卦象空间M（ij）。

w（ij）作用于E（ij）空间里的卦相当于零消息f（0）操作，w（ij）作用于M（ij）里的卦象相当于f（ij）操作。

如二五往来w （25）对于E（25）空间等于坤消息，对于M（25）等于坎消息。

E（ij）有32个卦象，M（ij）也有32个卦象，E（ij）+M（ij）＝G。

M（ij）空间又分为16对卦象，每对卦象在往来w(ij)作用下相互转换，你变成我，我变成你。

4、内八卦组合。

定义4：八卦是三维布尔空间B（3）的点。

八卦为坤（0、0、0），震（1、0、0），坎（0、1、0），兑（1、1、0），艮（0、0、1），离（1、0、1），巽（0、1、1），乾（1、1、1）。

定义5：每个易卦可以生成四个内八卦：（初、二、三），（二、三、四），（三、四、五），（四、五、六）。

其中（初、二、三）和（四、五六）称为上下卦，（二、三、四）和（三、四、五）称为互体卦。

例5.1:小畜卦（1、1、1、0、1、1）生成内八卦乾（1、1、1），兑（1、1、0），离（1、0、1），巽（0、1、1）。

其中乾和巽是易卦小畜的上下卦，兑和离是易卦小畜的互体卦。

定义6：把两个八卦上下相叠而构成一个易卦，记作B（3）X B(3)＝G。

即易卦空间是两个八卦空间的直积。

定义7：用本卦生成的四个内八卦相叠而构成的变卦定义为内八卦组合操作。

共有12个内八卦组合卦变操作。

例7.1：否卦（0、0、0、1、1、1）有四个内八卦坤、乾、艮、巽。

内组合乾上坤下为本卦，是内八卦组合中的不变操作。

内组合坤上乾下为泰卦，本卦否变为变卦泰就是把上下八卦相互易位，这个操作在传统中称为“上下象易”。

互体八卦的内组合：艮上巽下得变卦蛊，巽上艮下得变卦渐。

传统称为互体卦变。

互体卦和上下卦的内组合艮上坤下、巽上坤下、艮上乾下、巽上乾下、以及这四个变卦的上下易象，传统称为“连互”卦变。

5、反对。

倒转就是把一个卦反过来看，这个新卦称为原卦的复卦。

如讼卦（0、1、0、1、1、1）反对成为需卦（1、1、1、0、1、0）。

无论是内八卦组合还是反对，对于某特点的易卦，都对应于某个消息操作。

如讼卦反对成需卦，对应的消息是f（1346），即初、三、四、上爻消息。

反之，如果占得本卦和变爻得到的变卦刚好是某个反对操作、或者内组合操作、或者上下易象操作，或者往来操作，那么，这个变卦就揭示了本卦的什么特性在这个变卦中起来作用，这有点像“性格决定命运”。

即同样的环境和外部条件，同样的消息，本卦不同，结果大不一样。

在同样的消息操作下，某些易卦是一成不变，某些易卦变为反对，某些卦变为往来，某些卦变回胡体等等。

结论：64个消息操作F是完备的卦变操作集合，其它卦变操作等价于某个消息操作，是否等价以及等价于那类卦变操作是由本卦的结构决定的，因而揭示了卦象的某些特征。

所以，卦变成为研究易卦的重要工具之一。

－－－易卦：一个符号体系易经对于人类文明进步有着特殊的意义，要了解这个意义，我们要先聊聊人类与动物界的区别。

能否运用符号体系是人类与动物界的分界线。

动物界中有社会动物，如蚂蚁，蜜蜂等。

动物界也有脑容量大的，如鲸鱼。

也有聪明的动物，如章鱼有好几个脑，比只有大脑和小脑的人类有更多的脑，但那不就智力，只有人有智力，因为人能运用符号体系。

动物也会使用语音通讯，如猫叫情，狗吠等，但那不是语言。

人类的语言是一套符号体系。

人类至今保留和动物一样的原始的情不自禁的语音通讯，如哭、笑、惊叫。

听到惊叫，周围的人就知道有危险；这的猴类猿类都有的特点。

听到哭，知道哭的人不高兴，听到笑，知道笑的人很开心。

哭、笑、惊叫是不分国界种族说有人都听得懂的语音通讯，但这些都不是语言，不是符号的应用。

按照达尔文进化论的思维，人类是从动物界进化而来的。

我们的骨格只有拉长缩短变变形，就可以和鸡鸭猪狗相比较，就可以研究出进化论，但是，语言是进化来的吗？有谁发现动物中有原始初级语言进化到人类语言吗？没有。

语言是符号系统，是人类特有的。

其它动物没有。

有科学家致力于教猩猩学习符号系统，有初步成果，但很难。

我们可以命令家中宠物狗坐下、吃饭、走开等，马戏团可以训练野兽听驯兽员的“话”，鹦鹉也可以学舌，但那绝对不是这些动物懂得人的语言，那都是条件反射，就跟我们望梅止渴一样，是条件反射，是情不自禁的条件反射。

蜜蜂会用“舞蹈语言”告知同伴那里可以采蜜，甚至有一套“舞蹈语言”，但那绝对不是符号体系。

而是某些标记和指标。

标记和指标与符号体系有什么不同？标记和客观事务有一一对应，指标隐含某种因果关系。

如象形文字，就是一种标记。

象形“猪”的甲骨文标记“猪”，象形“马”的甲骨文标记“马”，等等，象形“山”的字标记“山”，你不能用甲骨文的“山”去标记“马”。

但是，符号就不同了，你可以用阳爻和阴爻这两个符号去指代“天”和“地”，指代“日”和“月”，指代“夫”和“妻”，等等。

符号体系是一个系统，可以对应于客观世界的一个系统，而这种系统元素之间有某种相互关系。

而且，符号体系是约定俗成的，不是标记，可以没有被指代物的任何关联。

如简单的两符号体系的两个符号，可以是“阴阳”，可以是“乾坤”，可以是“阴爻阳爻”，可以是“0和1”。

无论怎样约定，系统内在规律和逻辑是不变的。

符号是在标记和指标之上更抽象更有内在相互联系的系统。

蜜蜂的舞蹈语言是一种指标，舞蹈的某个方向指示采蜜的方向，这和语言符号不同，我们把“东南方向三里地有花蜜”这个语句横着写或竖着写或用英文写，都是表达一样的意思，但蜜蜂的舞蹈必需按照特点方向舞才能指示采蜜的方向。

符号不是学习得来的，不是学习甲骨文“猪”标记“猪”，学习甲骨文“山”来标记“山”。

符号体系是一种认知，是一种发现。

发现了有内在规律的宇宙系统，再把这个系统“谱写”成一套符号系统。

所谓“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。

”《周易·系辞》这段话，讲的就是人类运用符号体系的诞生。

所以，学习外语不是简单的把单词和事务一样对应，而同时要学习语法，单词要在上下文和场景中才产生意义，因为语言是一套符号系统，把组成这个系统的单词背下不等于懂得这个语言，而要认知整套符号体系。

注意，语言符号没有进化论的生物界踪迹。

我们可以说人类的手和脚是怎样从鱼到两栖动物到哺乳动物逐渐进化而来的，但是我们不能说人类语言是从鱼叫进化到鸟语进化到狼嚎进化到猿鸣再进化的人类语言，这个演化途径不存在。

语言符号只有人类才有，其它动物没有。

天文学家发现宇宙有许多适合生物生存的星球，但是，生物进化是否必然会进化到有智力可以运用符号系统的人类，这是没有考古学和生态学证据。