3.（10
分）（1）．用
2
段
Simpson
公式（5
节点）计算
5
∫1
1 x
dx
的近似值（取五位有效数字）；
（2）.若使误差不超过10−6 ，用复化梯形公式计算上述积分至少应取多少个节点？
4.（10 分）（1）．用 Newton 迭代法（取 x0 = 1.5 ）求方程 x3 − 3x − 2 =0 在[1.5, 2.5]内的根使 |xk +1 − xk |< 10−2 ；（2）.证明简单迭代格式= xk+1 3 3xk + 2 对于任意的初始值 x0 ∈[1.5, 2.5] 都是收敛的。
a(a + b −1)! = a (a + b)! a + b
解法 2：只考虑前 k 个位置：
aPk −1 a + b −1
=
a
Pk a+b
a+b
7.
(10 分) （1）.
x
方向边缘分布函数：
FX (x)=F (x, + ∞) =
lim F (x, y) =
y→∞
1 − e−0.5x
,
同理：
FY
(
−∞
2π
0 2π
2 t +∞ −t2
2
2
∫ = = e 2 d ( )
π0
2π
V (Z ) =E(Z 2 ) − [E(Z )]2 =E(T 2 ) − 2 =1− 2 . 其中：E(T 2 )=V (T ) + E2 (T ), 而 E(T ) = 0, V (T ) = 1. ππ
方法 2：
X，Y
摸得黑球的概率.
7. （10 分） 设某仪器由两个部件构成，X,Y分别表示两部件的寿命(单位：千小时）, 已
知(X
,
Y ) 的联合分布函数为：F (x,
y)
=
1 −
e −0.5 x
−
e−0.5 y
+
e , −0.5( x+ y)
x ≥ 0, y ≥ 0,
0,
其它
求：（1）.边缘分布函数和边缘密度函数；（2）.两个部件寿命都超过 100 小时的概率.
x4 − = x3 0.0019 < 10−2 ，所以方程在[1.5, 2.5]内的近似根为 x ≈ 2.0000
（2）简单迭代格式= xk +1
3 3xk + 2 的迭代函数为ϕ= (x)
3 3x + 2 ，ϕ′(x) = 1 ， 3 (3x + 2)2
明显的ϕ(x) 在[1.5, 2.5]上具有连续的一阶导数，当 x ∈[1.5, 2.5] 时，ϕ(x) ∈[1.5, 2.5] ，
2(n −1)
所以：
V (S 2 ) = 2σ 4 . n −1
本题 n = 16 , 所以最后得到： V (S 2 ) = 2 σ 4. 15
（2）. 设在总体 N (µ, σ 2 ) 中抽取一容量为 16 的样本，其中 µ, σ 2 均为已知，求方差V (S 2 ) .
《工程数学》试题答案
1. （10 分）解：
2 0 0
1 −1/ 2 1/ 2
(1). L= 1 3 / 2
0

,
U= 0
1
1/ 3
1 3 / 2 − 3
y
)
=
1 − 0,
e−0.5
y
,
y ≥ 0, 其它
所以，FX
(
x)
=
1 − 0,
e−0.5
x
,
x ≥ 0, 其它
联合密度函数f
(x,
y)
=
∂2F ∂x∂y
=
0.25e−0.5( x + 0,
y)
,
x ≥ 0, y ≥ 0, 其它.
边缘密度函数：f
X
(x)
=
FX′
(
拟合曲线为 y =13.5 −16.7x + 3.5x2
3. （10 分）解:
1．
S
2=
1 3
[1+4×(1/2
+1/4)+2×1/3
+1/5]=1.6222；
2.
∣
RTn
∣≤∣ 43 12n 2
× 2 ∣≤10−6
,n≥3266,需 3267 个节点。
4.
（10 分）解:
（1）牛顿迭代格式为： xk+1
0 0 1


,
（要有分解求的过程）

0
1
y
=
−
2 / 3
，解为
x
=

0

；
− 2
− 2
(2).

x (k +1) 1
x (k +1) 2
= (x2(k ) − x3(k ) ) / 2
=
− x1(k +1)
−
x(k) 3
−1

x3( k
8. （10 分） 设 X , Y 是两个相互独立且服从正态分布N (0 , 1) 的随机变量，
2
求：E( X − Y )，V ( X − Y )
9. （20 分）
（1）．设
X1,
X
2
,
,
Xn
为来自泊松分布P(λ) 的一个样本，X
,
S2
为其样本均值和样本方差,
求 E( X ), V ( X ), E(S 2 )
x)=
0.5e −0.5 x 0,
,
x ≥ 0, 其它
fY
(
y)
=
FY′(
y)=
0.5e−0.5 0,
y
,
y ≥ 0, 其它
(2).
∫∫ ∫ ∫ 方法 1： P ((X= ,Y ) ∈G)
f (= x, y)dxdy
+∞
(
+∞ 0.25e−0.5(x+ y)dy)dx
0.1 0.1
且|= ϕ′(x) |
1 3 (3x + 2)2
< 0.3 < 1，所以该迭代格式对于任意的初始值 x0 ∈[1.5, 2.5] 都是收
敛的。
5. (10 分) 由于被积函数含有 (x − a) ，令 f (x) =1, x − a, (x − a)2, (x − a)3 , 分别代入所给的
近似积分公式, 使公式精确成立, 得:
G
= e−0.1 ≈ 0.9048.
方法 2： 利用分布函数 P(0.1 < X , 0.1 < Y ) = 1− FX (0.1) − FY (0.1) + F (0.1, 0.1) = 1− (1− e−0.05 ) − (1− e−0.05 ) + (1− e−0.05 − e−0.05 + e−0.1)
1 (b − a)6 ； 右端等于 − 3 (b − a)6 ， 左右端不再相等，所以公式具有 3 次代数精确度。
6
20
6. (10 分) 解法 1：把球编号，按摸的次序把球排成一列，样本点总数就是 a +b 个球的 全排列数 (a +b)! ． 所考察的事件相当于在第 k 位放黑球，共有 a 种放法，每种放法又 对应其它 a+b－1 个球的(a+b－1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为 a(a+b－1)!。
+∞ 1 ρ 2e−ρ2 d ρ
= 2
0
0π
π
V (Z ) =E(Z 2 ) −[E(Z )]2 =E(T 2 ) − 2 =1− 2 . ππ
9. （20 分）每个 5 分 (1) 因为 Xi P(λ), 所以E( X=i ) V ( X=i ) λ= , i 1, 2,n.
∑ ∑ ∑ E(X )
5. （10 分）确定求积公式
∫ b (x − a) f (x) dx ≈ (b − a)2 [ Af (a) + Bf (b)] + (b − a)3[Cf ′(a) + Df ′(b) ] a
的待定系数 A, B, C, D 使其代数精确度尽量地高，并求其代数精确度.
6. （10 分）口袋中 a 只黑球， b 只白球． 随机地一只一只摸，摸后不放回．求第 k 次
= xk −
f (xk ) f ′(xk )
= xk −
xk3 − 3xk − 2 3xk2 − 3
= 2(xk2 − xk +1) ， 3(xk −1)
取 x0 = 1.5 代 入 迭 代 公 式 = 得 ： x1 2= .3333, x2 2= .0555, x3 2= .0019, x4 2.0000 ，
x(0) = (0, 0, 0)T ，求 x(3) ；并判定 Gauss-Seidel 迭代的收敛性.
2.（10 分）已知函数 y = f (x) 的观测数据为：
x
1
2
3
4
f (x)
0
−5
−6
3
（1）．构造差商表，并写出牛顿插值多项式；
（2）．用最小二乘法求形如 y =a + bx + cx2 的经验公式使与题目数据拟合；
= e−0.1 ≈ 0.9048
8. (10 分)
方法 1： T = X − Y N (0,1), Z = | T |,
+∞
+∞
∫ ∫ = E(Z ) = g(t) f (t)dt | t | f (t)dt
−∞
−∞