中档大题规范练——导数的应用1．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1，g (x )＝ln x .(1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实常数k 和m ，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m ？若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由F (x )＝x 3－2x ＋1－ln x (x >0)，得F ′(x )＝3x 3－2x －1x(x >0)， 令F ′(x )＝0得x ＝1，易知F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )的极小值为F (1)＝0.(2)易知f (x )与g (x )有一个公共点(1,0)，而函数g (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，下面只需验证⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≥x －1g (x )≤x －1都成立即可． 设h (x )＝x 3－2x ＋1－(x －1)(x >0)，则h ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)(x >0)．易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )的最小值为h (1)＝0，所以f (x )≥x －1恒成立．设k (x )＝ln x －(x －1)，则k ′(x )＝1－x x(x >0)． 易知k (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k (x )的最大值为k (1)＝0，所以g (x )≤x －1恒成立．故存在这样的实常数k ＝1和m ＝－1，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m .2．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上单调递增，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，又f ′(12)＝32. (1)求f (x )的解析式．(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由已知f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－32a ，c ＝0.所以f ′(x )＝3ax 2－3ax ，所以f ′(12)＝3a 4－3a 2＝32， 所以a ＝－2，b ＝3，所以f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0，所以x (2x －1)(x －1)≥0，所以0≤x ≤12或x ≥1. 又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，所以0<m ≤12. 3．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0， 因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43， 因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43. 4．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S 元(以下称S 为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是多少？ 解 (1)因为赔付价格为S 元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝2 000t －St .ω′＝1 000t －S ＝1 000－S t t， 令ω′＝0，得t ＝t 0＝(1 000S)2. 当t <t 0时，ω′>0；当t >t 0时，ω′<0，所以t ＝t 0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量t 0＝(1 000S)2(吨)． (2)设甲方净收入为v 元，则v ＝St －0.002t 2将t ＝(1 000S)2代入上式，得到甲方净收入 v 与赔付价格S 之间的函数关系式．v ＝1 0002S －2×1 0003S 4. 又v ′＝－1 0002S 2＋8×1 0003S 5＝1 0002×(8 000－S 3)S 5， 令v ′＝0，得S ＝20.当S <20时，v ′>0；当S >20时，v ′<0，所以S ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求的赔付价格S ＝20(元/吨)时，获得最大净收入．5．已知函数f (x )＝ln x ＋2a x，a ∈R . (1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值．解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2a x 2. ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2a x 2≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在[2，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x 2，则a ≤g (x )min ，x ∈[2，＋∞)， ∵g (x )＝x 2在[2，＋∞)上是增函数， ∴g (x )min ＝g (2)＝1.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]．(2)由(1)得f ′(x )＝x －2a x 2，x ∈[1，e]． ①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以f (x )min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)． ②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a .当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以f (x )min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3，解得a ＝e 22(舍去)． ③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以f (x )min ＝f (e)＝1＋2a e＝3，得a ＝e.适合题意． 综上a ＝e.6．已知函数f (x )＝a ln x ＋12ax 2＋bx (a ≠0)． (1)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为y ＝3x －32b ，求a 、b 的值； (2)若a ＝2时，函数f (x )是增函数，求实数b 的取值范围；(3)设函数g (x )＝ln x 的图象C 1与函数h (x )＝f (x )－ag (x )的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)函数f (x )＝a ln x ＋12ax 2＋bx 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋ax ＋b ＝ax 2＋bx ＋a x， 当x ＝1时，f ′(1)＝2a ＋b ＝3，f (1)＝12a ＋b ， 所以函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为y －(12a ＋b )＝3(x －1)， 即y ＝3x ＋(12a ＋b －3)， 所以12a ＋b －3＝－32b ， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，12a ＋b －3＝－32b ，得a ＝b ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝2x＋2x ＋b ，则f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即b ≥－2x－2x 在(0，＋∞)上恒成立， 因为2x ＋2x ≥22x ·2x ＝4(当且仅当x ＝1时等号成立)， 所以－2x－2x ≤－4，所以b ≥－4， 故实数b 的取值范围为[－4，＋∞)．(3)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且0<x 1<x 2，则点M 、N 的横坐标均为x ＝x 1＋x 22. C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝1x |x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝(ax ＋b )|x ＝x 1＋x 22＝a (x 1＋x 2)2＋b . 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2，则2x 1＋x 2＝a (x 1＋x 2)2＋b ， 即2(x 2－x 1)x 1＋x 2＝a (x 22－x 21)2＋b (x 2－x 1) ＝(a 2x 22＋bx 2)－(a 2x 21＋bx 1) ＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1， 所以ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＝2(x 2x 1－1)1＋x 2x 1，令u ＝x 2x 1>1， 则ln u ＝2(u －1)1＋u，u >1，① 令r (u )＝ln u －2(u －1)1＋u，u >1， 则r ′(u )＝1u －4(1＋u )2＝(u －1)2u (u ＋1)2. 因为u >1，所以r ′(u )>0，所以r (u )在(1，＋∞)上单调递增，故r (u )>r (1)＝0，则ln u >2(u －1)1＋u，这与①矛盾，故假设不成立． 即不存在满足题意的点R .。