（I）讨论函数 f ( x) 的单调性；
（II ）证明：若 a 5,则对任意 x1, x2
(0,
), x1
x 2 ,有
f ( x1 ) x1
f (x2 ) x2
1.
10．已知函数 f ( x) 1 x2 a ln x, g( x) ( a 1)x , a 1． 2
（I）若函数 f ( x ), g( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相 同，求实数 a 的取值范围；
x3 6 x 2 9 x 3 x 2 4 x 3 5x m 有三个不等实
根，即： g x x3 7 x 2 8 x m 与 x 轴有三个交点；
g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 ，
2
x
, 3
2
3
2
，4 3
4
4，
gx +
0
-
0
+
gx
增
极大值 减
极小值 增
g 2 68 m, g 4 16 m ．
0b 1)(3x
2a 3 2a 3),
由 f ( x) 0
大值，
x 1或 x
2a 3 ，因为当 x
3
2a 3
所以
1a
3
3 ，所以
a的取值范围是 : ( , 3) ；
1 时取得极
x ( ,1)
f ( x)
+
1
2a 3
(1,
)
3
2a 3 3
2a 3
(
,)
3
0
-
0
-
极小值
f ( x)
递增
极大值 a2
递减
a
（II ）①当 k 0时 ，函数 y ln( x
象有公共点，
∴函数 f ( x) 有零点，不合要求；
1) 图象与函数 y
k( x 1) 1图
②
当
k 0时
，
所以 f ' ( x) 2x 4 设 g (x) 2x 2 4x
2a x
2a
2x 2 4x 2 a ， x
当 a 0时，有 △=16+4×2 ( 2 a ) 8a 0 ，
d3
3a 2b c 3a
…（ 4 分）
（II ）依题意 f ' (2)
2b 0
3 且 f (2)
c0
5
数为 ………
12a 4b 3a 2b 3 8a 4b 6a 4b 3 5
解得 a 1, b 6
所以 f ( x) x 3 6 x2 9 x 3
………… （8 分）
（ III ） f ( x) 3 x2 12 x 9 ． 可 转 化 为 ：
k1
令
f ( x) 0, 得 x
，
k
k1
1
∵ x (1, )时, f (x) 0, x (1 ,
k
k
，
)时, f ( x) 0
1
1
∴ f ( x) 在(1,1 ) 内是增函数， 在[1 ,
k
k
) 上是减函数，
1 ∴ f ( x) 的最大值是 f (1 )
k
ln k ，
∵函数 f ( x) 没有零点，∴ ln k 0 ， k 1 ，
…
3 27
……… （10 分）
1
陈先槟
2 当且仅当 g
3
个交点，
68 m 0且g 4 27
16 m 0 时，有三
故而， 16
m
68
为所求．
27
分）
…………（ 12
a(1 x)
2．解：（I） f ' ( x)
( x 0)
x
（2 分）
当 a 0时, f ( x)的单调增区间为 0,1 , 减区间为 1,
（ II ）若 a (1, e] (e 2.71828L ) ，设 F ( x) f ( x) g( x) ，求证：当
x1, x2 [1,a] 时，不等式 | F (x1) F (x2 ) | 1 成立．
11．设曲线 C ： f ( x) ln x ex （ e 2.71828 ）， f (x) 表 示 f ( x) 导函数．
的取值范围．
1 f (x) 5x 3
m的
2．已知函数 f ( x) a ln x ax 3( a R) ．
（I）求函数 f ( x) 的单调区间；
（ II ） 函 数 f ( x ) 的 图 象 的 在 x
4 处切线的斜率为 3, 若函数 2
g( x) 1 x3 3
范围．
x2[ f ' ( x)
m ] 在区间（ 1，3）上不是单调函数，求 m 的取值 2
f ( 2) 8 36 30 f ( x)的最大值是 f (1)
74, f (1) 7,
7, f ( 2)
8 36 30 2 5．解：（I ）当 k 1 时， f ( x)
2
2x x1
陈先槟
f (x ) 定义域为（ 1，+ ），令 f ( x) 0, 得 x 2 ，
∵当
综上所述，函数 f ( x) 的单调增区间是（ 4， +∞），单调减区间是 (0,4]
a
a
若 (1 ln )
2
2
在两个零点；
综上所述， y
0 ，即 a 2e 时，函数 y g( x) 在区间 (1, ea ) 存 g( x) 在 (1,ea ) 上，我们有结论：
当 0 a 2e时，函数 f ( x) 无零点；
当 a 2e 时，函数 f ( x) 有一个零点；
当 a 2e 时，函数 f ( x) 有两个零点．
R ，求证：
| f (2sin ) f (2 sin ) | 81．
f (x) e x 4．已知常数 a 0 ， e 为自然对数的底数，函数
x ，
g(x) x2 aln x ．
（I ）写出 f ( x) 的单调递增区间，并证明 ea a ；
（II ）讨论函数 y g (x) 在区间 (1, ea ) 上零点的个数．
此时 g( x) 0 ，所以 f '( x) 0 ， f (x ) 在 [ e, e2 ] 上单调递增，
f ( x) 1 k 1 k kx
x1
x1
……… （6 分）
1k
k(x
)
k
x1
………
所以 f ( x)min f (e) e2 4e 2 a 当 a 0 时，△ =16 4 2(2 a ) 8a 0 ， 令 f '(x) 0 ， 即 2x2 4x 2 a 0 ， 解 得
x (1,2)时, f ( x) 0 ，当 x (2, )时, f (x) 0 ，
（Ⅱ）在 x [e,e 2] 时， f ( x) x 2 4 x (2 a ) ln x
∴ f ( x) 在(1,2) 内是增函数， 在 (2, ) 上是减函数
∴当 x 2 时， f ( x) 取最大值 f (2) 0
f (x ) min f ( e2 ) e4 4e 2 4 2a .
6． 解：（ I）由 f ( x) ( x2 ax 2a 3)ex 可得
（I ）求实数 a 的取值范围；
（II ）若 f (x) 是 f ( x) 的导函数， 设 g( x)
2 f ( x) 6 x2 ，试证明：
对任意两个不相等正数 立．
x1、 x2 ，不等式 | g( x1 ) g(x2) | 38 | x1 x2 | 恒成
27
9．已知函数 f (x ) 1 x 2 ax (a 1) ln x, a 1. 2
(0, ) ， ………… （2 分） ∵ a 0 ， ∴ f (a) f (0) 1 ， ∴ ea a 1 a ， 即 ea a ． ………… （4 分）
a 2( x （II ） g（(5x分) ） 2x x
2a
得x
，列表
2
2a )( x
2 x
2a )
2 ，由 g ( x) 0 ，
当x 4)x 2
2a 时 ， 函 数 y g(x) 取 极 小 值
III ）当 x, y N * 且 x y 时，求证 F ( x, y) F ( y, x) ．
答案
1．解 ：函数
f ( x) 的 导 函
f ' ( x) 3ax 2 2bx c 3a 2b ………… （2 分）
（I）由图可知 函数 f ( x) 的图象过点（ 0， 3），且 f ' (1) 0
得
d3
当 a 0时, f ( x)的单调增区间为 1, ,减区间为 0,1 ;
当 a=1 时， f ( x) 不是单调函数
（
II
）
f ' ( 4)
3a 3 得a 42
2, f ( x)
2ln x 2x 3
g( x)
1 x3
m (
2)x 2
2 x,
g'( x)
x2
(m
3
2
（6 分）
g( x)在区间 (1,3)上不是单调函数 ,且 g ' (0) 2
6 (2a
3) 2
27
递增
（II ）由下表：
a
依题意得：
6 (2a
3) 2
27
( 2a 3)2 ，解得： a 9
9
所以函数 f ( x) 的解析式是： f ( x) x3 9x2 15x
（III ）对任意的实数 , 都有
2 2 sin 2, 2 2 sin 2,
在区间 [-2 ， 2]有：
g ( x) -
2 7．已知函数 f (x ) x2 4x (2 a )ln x,( a R,a 0) （I）当 a=18 时，求函数 f ( x) 的单调区间； （II）求函数 f ( x) 在区间 [ e, e2 ] 上的最小值．