性质：范数等价具有传递性
定理 （范数等价判别定理） 在线性空间 E 中， 两种范数 x 1 与 x 2 等价的 k1 0, k2 0, 对于x E ，都有
k1 x
证：
2
x 1 k2 x 2 。
§3.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间） 。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1
Rn——n 维向量全体，在通常意义下的“加法”
“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[a, b] 、L[ a, b] ——在[a, b] 上可积分函数全体，在 通常意义下的“加法” “数乘”运算下是线性空间。
（1） x y y x
（2） ( x y) Z x ( y Z )
“零元素” E , 有x 0 x 0 （3）
“负元素” x E , 有x ( x) 0 （4）
（5） ( x ) ( ) x （6）1 x x, 0 x 0 （7） ( )x x x （8） ( x y ) x y
（1）有界性：若 xn x(n ) ，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性： 即范数 x 是 x 的连续函数 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛的连续性 即若 xn x, yn y , n
xn yn x y , n xn x
i 1
n
max xi ，则(R n , x )是赋范线性空间。 1 i n
n i 1
③ x 1 xi ，则(R n , x 1 )是赋范线性空间。
例2 C[a, b] 是线性空间，若 定义 ①
x max x(t ) ，则(R n , x )是赋范线性空间。 t[ a ,b ]
（3）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间 (E, )按范数导出的距离空间
( E , ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
§3.2 按范数收敛
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由 范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以得 到相应的结论。
1） 定义（按范数收敛）设 E 是赋范线性空间，点列
xn 及x E ，如果
lim xn x 0
n
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim xn x (强)。 n
{ （数域） 2） 性质 设 E 是赋范线性空间,{xn }, yn } E , { n } K
n
例4
l p ( P 1) 是线性空间，若
定义 x
p
( xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) ，则(R n , x p )是赋范线性空间
i 1

1 p p
( x, y) x y ( xi yi )1/ p ， 距离

p
特别的， l ——表示一切有界数列 x ( x1 , x2 ,, xn ,) 的全体，按通常定义下的“加法” “数乘”运算是线性空 间。若
§3.4 线性算子与线性泛函
映射：集合 集合的对应关系； 算子：空间 空间的映射，记为 T， 定义域记作 D(T） ，值域记作 N(T） 算子通常指：赋范线性空间 赋范线性空间的映射 泛函： 赋范线性空间 数域的映射。 我们最感兴趣，也是最简单的算子是：保持两种代 数运算的算子——线性算子。
1) 性质：除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋范 线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列） 。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构（ 有相同 的代数运算性质） 。
第3章 赋范线性空间 §3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
定义和举例 按范数收敛
有限维赋范线性空间
线性算子与线性泛函
赋范线性空间中的各种收敛
在第 2 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。 点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广， 然而它是只有距离结构、 没有代数结构 （代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
例如：范数 Tx x 是连续泛函； R1 中连续函数 f ( x) 。
（3）有界算子 定义 1 若算子 T 将 D(T ) 中的任一有界集映射为有 界集，则称 T 是有界算子。
定义 2 若 M 0, 对于x D(T ) , 都有 ，
Tx M x
则称 T 是有界算子。
两种定义等价性：若 T 是线性算子，则上述两种定义等价 有界线性算子：指 T 既是线性算子，又是有界算子
特别的，若 E 为赋范线性空间，而 E1 为 Banach 空间
B( E E1 ) 也为 Banach 空间。
2）线性算子（或线性泛函）的性质——有界性和连续性
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D (T ) 连续 在 D(T ) 上处 处连续
列三条（ 范数公理） （1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式 x, y E, 有 x y x y x y 则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E, )或 E 。
（2）(E, )与 ( E , ) 之间的关系 若在(E, )中，按范数定义距离，即 验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, )在范数意 义下（以后均指这种情况）是距离空间 ( E , ) ，称为由范 数导出的距离空间。
1) 定义：设 E 是赋范线性空间。若存在 n 个线性无关 的元素 e1 , e2 , , en E ，使得 x E ，有唯一表达式
n
x x1e1 x2e2 xnen xi ei
i 1
则称 E 为有限维 （n 维） 赋范线性空间。 {e1 , e2 ,, en } 称 为 E 的基 （底） 而称{x1 , x2 ,, xn } 为 E 在该基下的坐标。 ，
（3）常见赋范线性空间 例1 在欧氏空间 Rn 中，
x ( x1, x2 ,, xn ), y ( y1, y2 ,, yn ) R n
定义 ① x 2
x
i 1
n
2
i
n ，则(R , x 2 )是赋范线性空间。
距离 (x, y) x y ② x

( xi yi )2
x sup xi ，则(R n , x )是赋范线性空间。 定义
1i

i 1
注：由于(E, )在 (x, y) x y 定义下也是 ( E , ) ， 所以在(E,
)中可类似定义——邻域、开集、闭集、极
限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论— —完备性、可分性、紧性等。
例3
Pn ( x ) ——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的
“加法” “数乘”运算下是线性空间。
例4
Qn ( x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义
下的“加法” “数乘”运算下不是线性空间。
2）赋范线性空间 （1） 定义 （赋范线性空间） 设 E 是实数域 （或复数域）
按一定 x E 实数 x 0 ， K 上的线性空间。 若 且满足下 规则
（5） 线性算子空间 定义：设 E、E1 是同一数域 K 上的赋范线性空间，则 ① 集合{T T 是E E1的线性算子} 称为线性算子空间， 记作 （E E1 )
② 集合 {T T 是E E1的有界线性算子} 称为有界线性算 子空间，记作
B ( E E1 )
若在上述空间中引入线性运算： (T1 T2 ) x T1 x T2 x, (T ) x (Tx)
3）范数的等价性 定义（等价）设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1 和 x 2 如果由 xn 1 0 xn 2 0 ，称 x 1 比 x 2 更强； 若又有 xn 2 0 xn 1 0 ，即 x 2 比 x 1 更强， 则称范数 x 1 与 x 2 等价。
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1 、 x 2 、 x 相互等价
n m 例： 设 A 是 m n 阶矩阵， T : x R Ax R 是 ① 则
有界线性算子
d T : x(t ) C1[a, b] x(t ) f [a, b] 是无界线性算子 ② dt
（4）可逆算子：设算子 T : D(T ) N (T ) ，若存在算子 T ,使
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) E N (T ) E1 。 设 E
（1）线性算子：若 x, y D(T ), K (数域) ，有
T ( x y ) Tx Ty 即 T ( x y) Tx Ty T ( x) Tx
距离 (x, y) x y tmax] x(t ) y(t ) [ a ,b
n ② x 1 a x(t ) dt ，则(R , x 1 )是赋范线性空间
b
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若
b 2 1 2
定义 x ( a x(t ) dt ) ，则(R , x )是赋范线性空间。