N
x 1e1 2e 2 N e N
1 x1 , 2 x2 ,, N xN
18

N
N 是具有许多可能的基的 N 维空间
任意 K N 个线性无关的 N 维向量的跨度形成
的 K 维子空间。
19
2.1.2 开集、闭集和紧集
开球(open ball)
0 0
例 2.11 (单位球面)单位球 B1 (0) 的边界是
S1 0 x X d x, 0 1 ，称为单位球面(unit sphere)。
2 2 中单位球面是 S1 (0) {x 2 : x12 x2 1} ，它是集 2 合 B1 (0) {x 2 : x12 x2 1} 的边界。
例 2.10 开球是开集
图 2.4 开球是开集

N 中的开集和闭集具有如下事实：
任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。 任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
24

边界点(boundary point)
x 0 是 S X 的边界点 x0 X 的每个邻域既包含
总供给(aggregate suppley) y y y
1 K
均衡要求总需求等于总供给，即 x y

意味着: xn xn yn yn 或者: x n y n
1 M 1 K
7

范数(norm) 实值函数 : X 称为范数 x, y X ， ， 满足：
15
例 2.6 的子空间 原点 {0} 所有经过原点的直线 所有经过原点的平面
3
3 本身
例 2.7 次数小于 N 的多项式 设 Pn 表示所有次数小于 N 的多项式，由于加法和标量乘法 不会提高多项式的次数，因此，集合 Pn 是所有多项式的集合 P 的子空间。
16

非空集合 S X ，跨度：
X 向上无界，则取 inf ，而 inf X
当 inf X X ，称 X 取得(或达到)上确界。
30
2.1.4 序列收敛和完备性

m N 中的序列(sequence) {x m } m 1 或 {x }
m
lim x m x 或 x m x 0 ， M ， m M
集合 X 加上其度量 d 称为度量空间(metric space)， 表示为 (X , d ) 。
9
例 2.3 范数的一些例子
上的绝对值
欧几里德（Euclidean）或 l2 范数
x 2 xT x
1/ 2
2 x12 xn
1/2
Cauchy-Schwarz 不等式： x, y ， x y x
Eff (Y ) Í ¶Y

Eff (Y ) 通常是 b(Y ) 的真子集
28
2.1.5 上确界和下确界
X ， a 是 X 的上界(upper bound) x X ， x a X 的上界的集合

(此时称 X 无上界)
整个 (仅当 X = 时) 闭的无界区间 [b , ) 上确界(supremumin) sup X
第 2 章 赋范线性空间与凸集
2.1 赋范线性空间 2.2 凸集 2.3 一些重要例子 2.4 保持凸性的运算 2.5 分离超平面和支撑超平面
1
2.1 赋范线性空间
2.1.1 赋范线性空间 2.1.2 开集和闭集 2.1.3 上确界和下确界 2.1.4 序列收敛和完备性 2.1.5 紧性 2.1.6 Banach 空间
S 中的点也包含 S c 中的点
边界(boundary) ( S ) 是所有边界点的集合
图 2.5 2 中的内点和边界点
25

闭包(closure) S int S S
S S S 开
S S S 闭。
26
例 2.10 (闭球) 闭球 Cr ( x ) {x X : ( x, x ) r} 是闭集。
x , y , z X ， , ，满足：
1. x + y = y + x (交换律) 2. 3. 4. 5.
(x + y ) + z = x + (y + z ) (结合律)
(x y ) x y
( ) x ax x
( ) x ( x ) (结合律)
1. 非负性(positivity)： x 0 2. 严格非负性(strict positivity)： x 0 x 0 3. 齐次性(homogeneity)： x | | x 4. 三角不等式(triangle inequality)： x y x y
范数用来衡量向量的大小，符号 表明范数是实 数集 上绝对值的推广。


27
例 2.13 效率生产

生产计划 y Y 是有效率的(efficient) 不存在可行计划
y Y ， y ′ y , y ′ ≠ y

Eff (Y ) -有效率的生产计划的集合
Eff y y|y ′ y, y ′ ≠ y y ′ ∉ Y

Y 的每个内点都是非效率的
x N , lim x
p
p
max xn n 1
N
11
例 2.4 生产计划 y y1 ,, yN 的“大小 ” 的测量
y 1 yn
n 1
N
y2 y

y
n 1 n
N
2 n
max yn
12

赋范线性空间(normed linear space) 定义在范数之上的线性空间 X
8

度量(metric) d ( x , y ) x y 符合距离函数的要求 即对 x , y , z X ，满足：
1. 非负性(positivity)： d ( x, y ) 0 2. 严格非负性(strict positivity)： d ( x, y ) 0 x y 3. 对称性(symmetry)： d ( x, y ) d (y , x) 4. 三角不等式(triangle inequality)： d ( x, z ) d ( x , y ) d ( y , z )
|| xm x || 。 Nhomakorabeax 称为 {xm } 的极限点(limit point)或极限(limit)
31

序列 {xm } 收敛 极限惟一
3
6． 0 X ， x + 0 = x 7．对 x X ， y X ， x +y = 0 8． 1x x 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(closed)。 线性空间的元素称为向量(vector)。
4
例 2.1 一些线性空间
N 维实向量空间或 N 维欧氏空间：所有 N 维实向量的集
21

S 是 x 0 的邻域 S X 包含 x 0 的开球， x 0 称为 S 的
内点(interior point)

内部(interior) int S S 中所有内点的集合
S 是开的(open) S int S S 是闭的(closed) S c 是开的。
22
合
N
所有实数序列的集合 x1 , x2 ,..., xn , ， xn 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 a N t N 的集合。
5

消费集(例 1.1)和生产可能性集(例 1.2)本身不是线 性空间。

但它们都是线性空间 N 的子集，并且都从其母空 间中继续了许多线性特征。
f 在 x S 处的函数值为 f ( x )
13
例 2.5 (空间 l )一生的消费路径选择问题 一种商品， xt 表示 t 期时对该商品的消费量 设消费者是长生不老的 消费者计划 x ( x1 , x2 ,...) 消费集 X ( x1 , x2 ,..., xt ,...) xt ，它是一个线性空间 每期消费受资源限制： | xt | K 。 结合范数 x max xn ，它成为赋范线性空间 l 。

本书涉及的三类赋范线性空间
N 维实向量空间 N M N 阶实矩阵空间 M N
S M 上的有界、连续的实值函数空间 C ( S )

f , g C S , f g ，
x S 处的函数值为 f ( x ) g ( x )
2
2.1.1 赋范线性空间
线性空间(linear space)/向量空间(vector space) 指定义加法和标量乘法的非空集合 X 加法(addition) x, y X ， x y X 标量乘法 x X ， ， x X

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例 2.8 的标准基 单位向量的集合
N
e1 (1, 0, 0,..., 0) e 2 (0,1, 0,..., 0) e3 (0, 0,1,..., 0) e n (0, 0, 0,...,1)
称为 的标准基。 每一向量 x x1 , x2 , , xN 都有唯一表达式：
N span S n x n n , x n X n1
设 B 是子空间 Y 的子集，如果 B 中没有真子集具有跨 度这一性质，则称 B 是子空间 Y 的基(base)。 基的元素是线性无关的 除 {0} 外，子空间 Y 通常有很多不同的基。 若 Y 有一个由有限个元素组成的基，则所有基都 有相同数目的非零元素，这一数目称为子空间的 维(dimension)。 若子空间没有有限基，则它是无限维的。