分段函数的几种常见题型及解法
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
【解析】
作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为
[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.
2．求分段函数的函数值
例2．（05年浙江理）已知函数2
|1|2,(||1)
()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]
f f . 【解析】
因为311222()|1|2f =--=-, 所以31
222
3214
[()]()1()13
f f f =-=
=+-.
3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对
称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
222(10)
.()2(02)x
x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10)
.()2(02)x
x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12)
.()1(24)x
x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 2
26(12)
.()3(24)x
x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】
当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移
1
个单位, 得解析式为11
22(2)111
y x x =-+-=-, 所以()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2
个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以
1
()2([0,2])
f x x x =+∈, 综上可得2
22(10)
()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .
5．作分段函数的图像
例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ）
A
y
x
C
D
6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设
()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
【解析】
设0x <, 则0x ->, 所以()31x f x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x f x -=-, 因此
31(0)()0(0)13(0)
x x x f x x x -⎧->⎪
==⎨⎪-<⎩
, 从而可得33log (1)(0)
()0
(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数2
2(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
【解析】
当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,
(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()
f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数32(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
【解析】
显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
【解析】121231()()3(2)
31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪-≥⎩
, 画图易知单调减区间为12(,]
-∞-.
9．解分段函数的方程
例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1
()4f x =的x 的
值为
【解析】 若14
2x -=, 则222x
--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,
则1
4
x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.
10．解分段函数的不等式
例11．设函数1221(0)
()(0)x x f x x
x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩, 若
0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
【解析1】
x
x
y
首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.
【解析2】
因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,
1
2
01x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.
例12．
设函数2
(1)
(1)()4(1)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为
（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】
当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时
, ()141310f x x ≥⇔≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综
上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.
【点评：】
以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。