m f 0 f ( x0 , x1 , x m ) m hm
注意：等式右边为常数！ 若各数据点m阶差商为常数，则说明已不用再计算更高一阶差商 值。
牛顿插值多项式为
f 0 2 f 0 n f 0 f y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x xn 1 ) 2 n 1h 2h nh
K值由微分中值定理导出
Rn 1 ( x) K ( x x1 )(x x2 ) ( x xn ) K ( x xi )
i 1
n
K
f
n
( ) n
( ) n ( x x i ) i 1 n
式中ξ满足：min（x1，x2，…xn）≤ξ≤max （x1，x2，…xn） 故余项可表达为
由表可以看出，△3已接近常数，故代人牛顿插值公式 y0＝μ0=1.0051；x0＝20，x1＝22; … y＝μ；x=25，h＝x1-x0＝2 所以
f 0 2 f 0 y y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) 2 h 2h
25 1.0051
25 20 5(25 22) (0.0472 ) 0.0035 2 4 2 1
展开化简得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3 对于内在数学规律复杂的数据，要使插值函数P（xi）尽量接近真实函数f(xi)，减小在 插值点上的误差，插值多项式的次数则应高一些为好。但插值多项式的次数高了又会造成 误差积累过大。 为解决这一矛盾，可以将原始数据分段，分布采用次数较低的多项式插值。但在不同 数据段接点上，由于插值函数不同，会造成曲线不光滑。在很多实际应用场合，这又是不 允许的。如时间设备的外形尺寸放样等问题。 因此又出现了新的插值方法。如能保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i的Hemit 插值，保证P（xi）=f(xi)=yi， P‘（xi）=f’(xi)=y‘i， P‘’（xi）=f’‘(xi)=y‘’i的样条函数插值等。
5 O.2774
1 ( x)
2 ( x)
( x x2 )(x x3 ) ( x 3)(x 5) ( x 3)(x 5) ( x1 x2 )(x1 x3 ) (1 3)(1 5) 8
( x x1 )(x x3 ) 1 ( x 1)(x 5) ( x2 x1 )(x2 x3 ) 4

(x x j ) ( xi x j )
j 1
( j i)
这是一组n—1次多项式、其分母是n—1个一次式之积，分子每一个因子都是（x-xi） 形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在内，且xl， x2，…xn是互不相同的，所以分母不为零。 数学上可以证明这种多项式可以满足Ln-1（x）= y的要求，而且是唯一的。 当n=2，拉格朗多项式即为线性插值。
2 f1 f 2 f1
2 f n2 f n1 f n2
3 f n3 2 f n2 2 f n3
3 f1 2 f 2 2 f1
i阶差分为
i f 0 i 1 f1 i 1 f 0
m
i f1 i 1 f 2 i 1 f1
当n=3，上述多项式即为典型的抛物线插值多项式，为常用公式之一。
y y1 ( x x2 )(x x3 ) ( x x1 )(x x3 ) ( x x1 )(x x2 ) y2 y3 ( x1 x2 )(x1 x 3 ) ( x2 x1 )(x2 x3 ) ( x3 x1 )(x3 x2 )
f ( xi , x j ) f ( x j , x k ) xi xk
(i j )
f ( xi , x j , xk )
其余类推。
(i k )
如果x0，x1，x2，…xn是等步长的，且步长为h，即x1=x0十h；x2=x0＋2h，… xn=x0十 nh；则 m阶差商与差分的关系为
f1 f 0 , f 2 f1 , f 3 f 2 , f n f n1
f1 f 2 f1
简记为
f 0 f1 f 0
f n1 f n f n1
上述各式称为一阶差分；类似地，二阶差分
2 f 0 f1 f 0 3 f 0 2 f1 2 f 0
当n=3点计算时；上式可写成：
f 0 2 f 0 y y0 ( x x0 ) ( x x0 )(x x1 ) h 2h 2
例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25℃时的粘度值。 解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分…并列入表中：
T℃
20 22
例6.3某二元物质，溶质在溶剂中的溶解度C与溶剂组成X的关系如下表。试用差分法确定 两者之间的模型关系。
X 0.1 0.2 0.3 0.4 C 0.212 0.463 0.722 1.153 C△ 0.251 0.309 0.381 0.472 △2C 0.58 0.72 0.91 0.110 △3C 0.14 0.19 0.19 0.18 C 计算 0.211
6.3.1 插值多项式模型 已知函数y=f(x)在n个点xi上的值f(xi)（记作yi＝f（xi），i=l，2，…n），求一 个 低于n的插值多项式Ln-1（x），使 Ln-1（xi）＝yi （i＝1,2，…n） 拉格朗日插值法求多项式 Ln-1（xi）模型为
Ln1 ( x) 1 ( x) y1 2 ( x) y 2 n ( x) y n i ( x) yi
或简记为
j m f 0 (1) j cm f m1 j 0
差商是设函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的值为： x0， x1，…xn，所谓不相等，即在f≠j时，有xi≠xj， 此时称
f ( xi , x j )
为一阶差商。同样二阶差商：
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
xi 1 x xi
也可以推广为
yi yi 1 y yi 1 ( x xi 1 ) xi xi 1
这样处理实际上是将n十1个点（x。，y。），（xl，y1…（x。，yn）顺序连接成折线
近似代替原来的曲线y=f(x)。只有当线性关系非常好的时候，计算才较准确。
6．3拉格朗日插值
i ( x)
( x x1 )(x x2 ) ( x x j 1 )(x x j 1 ) ( x xn )
n
n
i 1
( xi x1 )(xi x2 ) ( xi xi 1 )(xi xi 1 ) ( xi xn )
L2 (4) 0.3213

0.3213 3 3 0.2978 0.2774 0.2872 8 4 8
例题6．l的Excel解法 依次将原始数据输人表格的前面两列；然后输人插值点；按照公式依次输人Wi和Wj： 乘 Yl的计算公式。由于 Excel具有输人公式，自动显示计算结果的能力，所以可以直接在 屏幕上看到相应的计算结果，最后在最下面的一行中输人求和计算公式：=SUM（E3： E5）得到预料中的计算结果数值0.287213。
μ
1.0051 0.9579
△
-0.0472 -0.0437
△2
0.0035 0.0032
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ△3
-0.0003 -0.0004
△4
-0.0001 -0.0000
24
26 28
0.91442
0.8737 0.8360
-0.0405
-0.0337 -0.0353
0.0028
0.0024
-0.004
30
0.8007
Rn 1 ( x)
f
(n)
如果f（x）的n阶导数f(n)(x)在区间[xl，xn]的绝对值最大值或上界为Mn（常数），则导 出
Mn n Rn 1 ( x) ( x x i ) n i 1
由此可知，余项大小不仅与f(x）的n阶导数有关，而且还与插值点的位置密切有关。
例6．l已知一氧化碳在溶液中的溶解度为： t（℃） 0 1 3 溶解度xi 0.3346 0.3213 0.2978 求4℃时溶解度为多少？ 解：取二次拉格朗日模型进行插值计算。
温度t
溶解度x
插值点
ω
ω *y
0
1 3 5
0.3346
0.3213 0.2978 0.2774 4 -0.125 0.75 0.375 -0.04016 0.22335 0.104025 0.287213
牛顿插值 牛顿插值多项式的数学模型
如果将函数f(x)在诸点x0，x1，…xn满足：xi=xi-1十h上的函数值f(x0)，f(x0 ＋h)，f（x0十2h），f（x0十3h）…f（x0＋nh）简记为f0，f1，f2…fn 将相邻两数相减得
1.0
6.001
/
6.001
解：设所求的多次式模型为
C a0 a1x a2 x2 a3 x3
此时h=0.1，并将求得的
C0 , 2C0 , 3C0
代人式中，即有
0.0014 0.25100 0.058 ( x 0.1)( x 0.2)( x 0.3) C 0.212 ( x 0.1) ( x 0.1)( x 0.2) 3 2 3 2 0 . 1 0.1 2 0.1
0.463 0.771 1.152
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9
1.625
2.207 2.917 3.776 4.798