第 29卷第 1期V ol 129 N o 11长春师范学院学报 (自然科学版Journal of Changchun N ormal University (Natural Science2010年 2月 Feb. 2010利用 MAT LAB 分析圆环电流的磁场分布王玉梅 , 孙庆龙(陕西理工学院物理系 , 陕西汉中 723003[摘要 ]根据毕奥—萨伐尔定律推导出圆环电流磁场分布的积分表示 , 利用M AT LAB 的符号积分给出计算结果 , 并绘制磁场分布的三维曲线。

在数值结果中选取一些代表点讨论磁场的分布规律。

[关键词 ]圆环电流 ; 磁场 ; M AT LAB ; 符号积分 ; 三维绘图[中图分类号 ]O4-39 [文献标识码 ]A []--04[收稿日期 ]2009-08-18[作者简介 ]王玉梅 (1975- , 女 , 山西芮城人 , 陕西理工学院物理系讲师 , 从事大学物理教学与研究。

毕奥— , 强度。

, 可以计算任意形状的电流所产生的磁场。

, 利用 MAT LAB 软件进行计算 , 并绘制磁场分布的三维曲线 , 最后对结果进行讨论 1圆环电流在空间任一点的磁场分布图 1圆环电流磁场分析用图如图 1所示 , 根据毕奥—萨伐尔定律 , 任一电流元 Id l _ 在 P 点产生的磁感应强度 d B _=μ4π_×e _r 2, [1]其中 r _和r _′ 分别为 P 点相对于坐标原点和电流元 Id l _的位矢, r _″ 为电流元 Id l _相对于坐标原点的位矢。

r _′ =r _+r _″ , r _′ =x i _+y j _+z k _,r _″ =R(cos θi _+sin θj _(其中 R 为圆环电流半径 ,d l _=Rdcos (θ+π2 i _+sin (θ+π2j _=Rd θ(-sin θi _+cos θj _ 。

根据圆环电流的电流分布特点 , 可知在图 1中以 z 轴上某点为圆心、圆面平行于圆环电流的圆周上各点的磁场大小相同 , 方向表述也应该相同 , 那么 P 点的坐标为 (x , 0, z 的结果也具有普遍性。

因此有 :d B _=μ4π_×e _r 2=μ4πr3z cos θi _+z sin θj _+(R -x cos θ . dB x =μθ4πr 3z cos θ, B x =∫ dB x =∫ 2π0μ4πr3z cos θd θ. (1 dB y =μθ4πr 3z sin θ, B y =∫ dB y =∫ 2π0μ4πr3z sin θd θ. (2 dB z =μθ4πr 3(R -x cos θ , B z =∫ dB z =∫ 2π0μ4πr 3(R -x cos θ d θ.(3其中 r =x 2+z 2+R 2-2Rx cosθ. 2利用 MAT LAB 进行积分计算・02・211利用 MAT LAB 进行积分计算对于 (1 、 (2 、 (3 , 可利用 MAT LAB 中的符号积分进行积分运算 [2], 下面是计算的程序代码。

syms sita x z R %定义 sita 、 x 、 z 、 R 为变量 R =1; %计算中圆环半径 R 取为 1mf =R 3z 3cos (sita /((R.^2+x.^2+z.^2-23R 3x 3cos (sita .^1.5 ;g =R 3z 3sin (sita/((R.^2+x.^2+z.^2-23R 3x 3cos (sita .^1.5 ; h =R 3(R -x 3cos (sita /((R.^2+x.^2+z.^2-23R 3x 3cos (sita .^1.5 ;Bx =int (f , sita ,0,23pi ;By =int (g , sita ,0,23pi ; Bz =int (h , sita ,0,23pi ; %计算积分在计算积分时 , 对各式中的系数μ4π可不考虑 , 因为该系数并不会影响磁场的分布特征。

程序运行后 :Bx =-23(E llipticK (23(1/(1+x ^2+z^2+23x 3x ^(1/ 3-E (+x^2+z^2+23x 3x ^(1/2 3x ^2-23E llipticK (23(1/(1+x ^2+z^2+2 3((1+x ^2+z^2+23x 3x ^(1/2 3z^2-E llipticE(3(1/(1x ^2++(2(1/(1+x^2+z^2+23x 3x ^(1/2 -E 3+ x (23z^2 3((1+x^2+z^2-23x/(1+x^2+z^2+23x ^(1/2x ^223^(3/2 /;By =0;Bz =23(E llipticK (23(1/(1+x ^2+z^2+23x 3x ^(1/2 3x^2-E llipticE(23(1/(1+x^2+z^2+23x 3x ^(1/2 3x ^2-23E llipticK (23(1/(1+x ^2+z^2+23x 3x ^(1/2 3x -E llipticE (23(1/(1+x^2+z^2+23x 3x ^(1/2 3z^2+E llipticK (23(1/(1+x ^2+z^2+23x 3x ^(1/2 +E llipticK (23(1/(1+x^2+z^2+23x3x ^(1/2 3z^2+E llipticE (23(1/(1+x ^2+z^2+23x 3x ^(1/2 3((1+x ^2+z^2-23x /(1+x ^2+z^2+23x ^(1/2 /(1+x ^2+z^2-23x ^(3/2 ; 212利用 MAT LAB 进行三维绘图对于 E llipticE (x 和 E llipticK (x 两种形式 , 在 Matlab 中 , 可用函数m fun (‘ E llipticE ’ ,x 和m fun (‘ E llipticK ’ , x [3]来计算其数值结果。

并用 surfl (x ,z ,Bx 和surfl (x ,z ,Bz 命令绘制出磁场在径向和轴向的三维分布图 , 如图 2和图 3所示。

图 2圆环电流径向磁场分布图图 3圆环电流轴向磁场分布图部分程序代码如下 :[x,z ]=meshgrid (0:0.03:2, -1:0.03:1 ;・12・Bz =2. 3(m fun (′ E llipticK ′ , (2. 3(1. /(1+x.^2+z. ^2+2. 3x . 3x . ^(1/2 . 3x. ^2-m fun (′ E llipticE ′ , (2 3(1. /(1+x.^2+z.^2+2. 3x . 3x .^(1/2 . 3x.^2-23m fun (′ E llipticK ′ , (23(1. /(1+x.^2+z.^2+2. 3x . 3x .^(1/2 . 3x -m fun (′ E llipticE ′ , (23(1. /(1+x. ^2+z. ^2+2. 3x . 3x . ^(1/2 . 3z. ^2+m fun (′ E l 2 lipticK ′ , (23(1. /(1+x.^2+z.^2+2. 3x . 3x .^(1/2 +m fun (′ E llipticK ′ , (23(1. /(1+x. ^2+z. ^2+2. 3x . 3x .^(1/2 . 3z.^2+m fun (′ E llipticE ′ , (23(1. /(1+x. ^2+z. ^2+23x . 3x . ^(1/2 . 3((1+x. ^2+z. ^2 -2. 3x . /(1+x.^2+z.^2+2.3x .^(1/2 . /(1+x.^2+z.^2-2. 3x .^(3/2 ; [4]surfl (x ,z ,Bz ;xlabel (′ x ′ ;ylabel (′ z ′ ;zlabel (′ Bz ′ ;3结果分析311圆环电流磁场方向分析从积分结果知 , 圆环电流在坐标为 (x ,0,z 点所产生的磁场在 y 轴上的分量 By =0, 说明圆环电流周围任一点的磁场方向在由该点和圆环电流的轴向所决定的平面内 (在本例中即 x oz 面内 ,向 (圆环电流的径向 , 如上边的 x 方向这两个垂直方向上来312圆环电流磁场大小分析从图 2和图 3来看 , , 往周围扩展 , z =0,x =1附近取了一些点的磁场计算结果如表 1所示。

表 1 z =0,x =1附近一些点的磁场数值z x Bx (×103 Bz (×103-0. 0020 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 0020-0. 5005-0. 8004-1. 0000-0. 7996-0. 49950. 5075 0. 4074 0. 0073 -0. 3926 -0. 4926 -0. 0010 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 0020-0. 4004-1. 0005-2. 0000-0. 9995-0. 39960. 8080 1. 0081 0. 0080 -0. 9919 -0. 7920 0 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 0020NaN1. 00832. 0090 NaN -1. 9910 -0. 99170. 0010 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 00200. 40041. 00052. 00000. 99950. 39960. 8080 1. 0081 0. 0080 -0. 9919 -0. 79200. 0020 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 00200. 50050. 80041. 00000. 79960. 49950. 5075 0. 4074 0. 0073 -0. 3926 -0. 4926从表 1可知 , 在圆环上 (z =0,x =110000 ,B 为无穷大。

这是因为与该位置电流元对应的 r =0所致。

313圆环电流所在的平面磁场分析・22・从表 1中可知 , 在 z =0处 , 即在圆环电流所在面上 (除环上各点的磁场在径向无分量 , 磁场方向在轴向上。

表 2给出了圆环电流所在面上一些点的磁场数值结果。

表 2圆环电流所在面上的磁场 Bz (×103x Bz x Bz x Bz x Bz从表 2知环内 (x <11000 的 >, ( , 与毕奥—萨 , 。

从表 3, 趋向于无穷大。

在圆环内部 ,x =01999时 ,B 为 210090;x =01998时 , B 减小为 110084; =01980时 ,B 已减小为 011060。