第六讲 旋转与轨迹本讲3单元的内容分别是：图形旋转，线动成面，面动成体。

图形旋转是解决几何题目的有效方法之一，在解决几何题目时，旋转的方法满足以下三个条件：(1>通过旋转将不规则图形转化为规则图形，(2>边相等，(3>角互补或互余。

在看到满足这些条件的几何图形时，要能想到“旋转”，这是一种思路，也是一种境界。

b5E2RGbCAP 轨迹：点动成线，线动成面，面动成体。

601、【第一单元1】如图所示的四边形的面积等于多少？ 【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】此题不用旋转也能做，如图一，但是，要学好看到等边、直角，思考如何旋转。

如图二(△OAB 绕O 逆时针旋转90度>、图三(△OAC 绕O 顺时针旋转90度>。

图三，12×12＝144。

p1EanqFDPw 【答案】144。

602、【第一单元2】如图所示，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝3，BC ＝5，以AC 为一边向△ABC 外作正方形，中心为O ，求阴影面积。

DXDiTa9E3d 【难度级别】★★☆☆☆图三图二图一A【解题思路】不旋转也能做，×5×3+×(>＝16。

但是，要学好旋转，△OAB绕O逆时针旋转90度，如Array图。

直角△OBB′为所求<BCB′在一条直线上，证明很简单）。

一个等腰直角三角形，斜边长度已知，面积是可求的。

5+3＝8，×8×4＝16。

【答案】16。

603、【第一单元3】如图，已知AB＝AE＝4cm，BC＝DC，∠BAE＝∠BCD＝90°，AC＝10cm ，则＝___。

RTCrpUDGiT【难度级别】★★★☆☆【解题思路】△ABC绕C逆时针旋转90度，△ABC绕A顺时针旋转90度，都转到AC的下方，在AC的下方形成正方形，如图。

也可以都转到AC的上方形成正方形。

5PCzVD7HxA面积：10×10÷2＝50。

【答案】50。

604、【第一单元4】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内做直角三角形ABE ，∠AEB＝90°，AC 、BD 交于O ，已知AE 、BE 的长分别是3cm 、5cm ，求△OBE 的面积。

jLBHrnAILg 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】提供两种解法。

解法一、悬空＝整体－空白，旋转=[]＝＝17；△ABE 好求，但△ADE 不好求，将△ADE 绕A 点顺时针旋转90度，求变成了求直角梯形AEBE′的面积，(3+5>×3÷2＝12。

xHAQX74J0X×(17－12>＝2.5。

解法二、弦图E'看到了正方形、直角三角形，想到弦图，做出其他三个直角三角形。

△DBE底BE＝5，高等于弦图中心正方形的边长,5-3＝2。

＝×(×5×2>＝2.5。

【答案】2.5。

605、【学案1】下图△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，点D在BC边上，BD:DC＝2:3。

当△ABC的面积是50时，△ADE 的面积是多少？LDAYtRyKfE【难度级别】★★★★☆【解题思路】看到等腰，看到120°，想到旋转。

将△ABC、△ADE绕A点旋转2次<120°、240°），连接D、E、D′、E′、D″、E″构成正六边形。

Zzz6ZB2Ltk＝50×3＝150。

，但是，正六边形有些点悬空，面积不好求，可以求△DD′D″的面积，＝，这样，＝。

＝＝＝＝42；＝×42＝14。

BBBB此处用到了鸟头模型，2×3：5×5。

本题中的正六边形是需要证明的：∠CAD′＝∠BAD，∠EAD′＝∠EAC+∠CAD′＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝120°－60°＝60°，所以，△EAD′是正三角形。

【答案】14。

606、【补充1】如图，在长方形中，已知2个三角形的面积是2和3，求？处的面积。

【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】如图做辅助线。

第一步：求出来3<蝴蝶两翼）；第二步：求出来4.5<面积比为2：3）；第三步：长方形一半：3+4.5＝7.5，？＝7.5－2＝5.5。

【答案】5.5。

607、【第二单元3】直角三角形ABC的斜边AB长为10厘M，∠ABC＝60°，此时BC＝5厘M。

以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120°，点A、C到达E、D位置。

求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积<取3）。

dvzfvkwMI1【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】线动成面。

将△EBD逆时针旋转回来，阴影为2个扇形差。

＝75＝75。

【答案】75平方厘M。

CBA = 60°A608、【第二单元4】如图，ABCD 是一个长为4、宽为3、对角线长为5的长方形，它绕C 点顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积。

rqyn14ZNXI 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】DC ：＝4；BC ：＝ 2.25；AD ：(1>旋转到(2>，＝ 2.25； AB ：(3>旋转到(4>，＝4。

发现，对边扫过的面积相等。

【答案】AB ：4，BC ： 2.25，CD ：4，DA ： 2.25。

609、【学案2】如图△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1M 。

现在以C 点为圆心，把△ABC 顺时针旋转90度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是_____平方M 。

EmxvxOtOco 【难度级别】★★★★☆【解题思路】此题，扫过的面积不太好想象。

顺时针旋转后，A 点沿弧AA′转到A′点，B 点沿弧BB′转到B′点，D 点沿弧DD′转到D′点。

因为CD 是C 点到AB 的最短线段，所以AB 扫过的面积就是图中的弧BAA′与BDD′A′之间的阴影图形。

SixE2yXPq5DDB＝＝＝×1×1＝(平方M>。

＝＝＝。

＝－－(>＝--＝-＝0.6775。

【答案】0.6775。

610、【学案3】三枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚同样大小的硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A点重合的点是____，硬币自己转动_____，硬币圆心的运动轨迹周长为_____。

6ewMyirQFL【难度级别】★★★★☆【解题思路】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆。

＝6；硬币周长：＝2；6÷2＝3，即为3周。

【答案】A点，3周，6厘M。

611、【作业3】如图所示的四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ABC＝105°,AB＝CD＝15厘M,连接对角线BD，∠AB D＝30°。

求四边形ABCD的面积。

kavU42VRUs 【难度级别】★★★☆☆EE【解题思路】先将所有角的度数标记出来。

发现60°和30°，75°和105°。

将△BCD沿BD剪下，B、D两点翻转再粘上，形成图形如右。

面积就很好求了：×15×15＝112.5(平方厘M>。

【答案】112.5平方厘M。

612、【作业5】如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16，如果以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12，如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？y6v3ALoS89【难度级别】★★★☆☆【解题思路】设BC＝a，AC＝b，则化简后得，此方程可解，两式相除得：，代入得。

根据勾股定理，AB＝5，AB 上的高为：＝2.4。

C所求旋转体的体积为：＝9.6。

【答案】9.6。

613、【补充2】先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲线三角形<如左图）。

再准备两个这样的图形，把一个固定住<右图中的阴影），另一个围绕它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动。

请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘M？<取3.14）M2ub6vSTnP【难度级别】★★★★★【解题思路】本题难度较大，圆心变换了6次。

滚动过程以及最终结果，如下图。

B滚动经过的面积：3×[+]＝8＝25.12(>【答案】25.12。

Liqingzhou2018.11.7申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。