l 1
l3 l 2
vj uj x
0 0
0 3
01
l2 l
2 1
l3 l 2
形函数矩阵为: u Nu u v Nv v Nu h(x)A11 Nv H(x)A21
i ui vi i T
j uj
vj j T
e
T i
T T j
第1节 等直杆单元分析续1
0 0 0 0
0 2(1 )
已知位移列阵 d u v w T
一、平衡方程 A F 0
微分算子列阵
x
0
0 y
0
z
A
0
y
0
x z
0
0
0
0
z
y x
二、几何方程 AT d 三、本构关系 D 四、协调方程 C 0
C 协调算子矩阵（略）
表面外法线方 l 0 0 m 0 n 向余弦矩阵 L 0 m 0 l n 0
实质: 对力学模型进行近似数值计算的方法 将无限自由度问题变成有限自由度问题
分析过程:结构离散化,确定位移模式,单元特性分析 整体分析,解方程,输出计算结果,其他处理
学习方法:与矩阵位移法对比—相同与不同之处 了解基本原理,各种方法的共性与实质 通过自编程序进一步熟悉原理
杆系结构
应用状况:标准通用软件SAP2000,ANSYS, 各种专用程序
d
u v
Hu
H
v
((xx))A
e
N e
Hu (x) 1 0 0 x 0 0, Hv (x) 0 1 x 0 x2 x3
2、用结点位移表示应变和应力
拉压应变，
o
弯曲应变
b
1 0 0 0 0 0
0
1
000
0
0 0 1 0 0 0
1
A
l
0
0
3 l2
01 l
2 0 l
0
3 l2
0
1
l
yz
z
1 E
[ z
( x
y )], zx
2(1 E
) zx
四、协调方程
二、几何方程
x
u x
,
xy
u y
v x
y
v y
,
yz
v z
w y
z
w , z
zx
w x
u z
五、边界条件(应力,位移)
应力
x xl xym yzn y yxl ym yzn z zxl zym zn
A1
1 1
0
l
A2
0 1
Hale Waihona Puke 1 l0 l20
l3
待定参数为:
0
1
2l
3l
2
a A1 1 u b A2 1 v
结点位移表示的位移模式为:
1
A11 1
l
u h(x)A11 u v H (x)A2 1 v
Mi i
i
ivi
ui
l
Ni
j
1 0
0 1 l
A2
1
0 3
l2
2
1 2
连续体
第2节 弹性力学基本方程
一、平衡方程 x xy xz X 0
x y z
yx y yz Y 0 x y z
zx zy z Z 0
三、本构关系 x y z
x
1 E
[
x
(
y
z )],
xy
2(1 E
)
xy
y
1 E
[
y
( z
x )],
yz
2(1 E
)
即：形变势能的变分表达式与虚变形功的表达式完全相同。
外力势能变分:
V (Xu Yv Zw)dxdydz (Xu Yv Zw)dS
S1
即：外力势能的变分表达式与外力虚功负值的表达式完全相同。
第2章 杆系结构有限元
第1节 等直杆单元分析
1、用结点位移表示单元的位移模式
位移列 阵 u ui uj T
S1
总虚变形功：
U ( xx y y zz yz yz zx zx xy xy)dxdydz
对于平面问题：
(Xu Yv)dxdy (Xu Yv)ds S1
( x x y y xy xy)dxdy
第4节 最小势能原理
最小势能原理
在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。
2 x y 2
2 y x2
2 xy xy
,
x
zx y
xy z
yz x
2
2 x yz
位移
2 y z 2
2 z y 2
2 yz yz
,
y
xy z
yz x
zx y
2
2 y zx
u u, v v, w w
2 z x2
2 y x2
2 zx zx
,
z
yz x
zx y
xy z
2 2 z xy
v vi i vj j T
y
Qi
Qj Mj j
j Nj
设位移模式 u a0 a1x, v b0 b1x b2 x2 b3x3
h(x) 1 x H (x) 1 x x2 x3
a a0 a1 T b b0 b1 b2 b3 T
由结点位移得 u A1a v A2 b
1 0 0 0
其中:
0
2 l3
1 l
0 2 l3
1 l 2
du
o b
dx
y
d 2v dx2
HyHu (vx()x)A
e
B e
Hu (x) 0 0 0 1 0 0, Hv(x) 0 0 0 0 2 6x
0 0 n 0 m l
五、应力边界条件 L 0 位移边界条件 d d 0
第3节 虚位移原理
虚位移原理
弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条 件的虚位移 ，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。
W U
总外力虚功：
W (Xu Yv Zw)dxdydz (Xu Yv Zw)dS
总 势 能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy)dxdydz
外力势能：V (Xu Yv Zw)dxdydz (Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( xx y y zz yz yz zx zx xy xy)dxdydz
《有限元法》考核方式
1 有限元学习报告（打字） 2 一个有限元程序 （MATLAB语言编写） 3 口试
时间：第19周前全部完成 第20周 考试结束
第1章 有限元法绪论
第1节 概述 Clough--The finite element method
起源: 50年代飞机结构矩阵分析Argyris,Turner ,Clough 60年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域
续第2节 弹性力学基本方程—矩阵表示
位移列阵 d u v w T
体积力列阵 F X Y Z T
应力列阵
x
y
z
xy
yz
T zx
应变列阵
x
y
z
xy
yz
T zx
表面力列阵 x y z T
1
1
对
称
a
D 1
1 E
0
0
1 0
2(1 )
0 0 0 0 2(1 )