扩展有限元
有限元是将一个物理实体模型离散成一组有限的相互连接的单元组合体, 该方法在考虑物体内部存在缺陷时间，单元边界与几何界面一致，会造成局部网格加密，其余区域稀疏的非均匀网格分布，在网格单元中最小的尺寸会增加计算成本，再者裂纹的扩展路径必须预先给定只能沿着单元边界发展。

1999年，美国西北大学Beleytachko 提出了扩展有限法，该方法是对传统有限元法进行了重大改进。

扩展有限元法的核心思想是用扩充带有不连续性质的形函数来代表计算区域内的间断，在计算过程中，不连续场的描述完全独立于网格边界，在处理断裂问题有较好的优越性。

利用扩展有限元，可以方便的模拟裂纹的任意路径，还可以模拟带有孔洞和夹杂的非均质材料。

扩展有限元是以标准有限元的理论为框架，保留传统有限元的优点，目前商业软件中如Abaqus 等都加入扩展有限元的分析模块。

扩展有限元以有限元为基本框架，主要针对不连续问题进行研究，相对于传统有限元方法，它克服了裂纹扩展问题的不足。

其采用节点扩展函数，其中包括2个函数:裂纹尖端附近渐进函数表示裂纹尖端附近的应力奇异性;间断函数表示裂纹面处位移跳跃性。

整体划分位移函数表示为
αααI =I I I =∑∑++=b x F a x H u x N x u N i )(])()[()('41
1
式中:)(x N I 为常用的节点位移函数；I u 为常规形状函数节点自由度，适用于模型中的所有节点；)(x H 为沿裂纹面间断跳跃函数；I a 为节点扩展自由度向量，这项只对形函数被裂纹切开的单元节点有效；)(x F α为裂纹尖端应力渐进函数；αI b 为节点扩展自由度向量，这项只对形函数被裂纹尖端切开的单元节点有效。

沿裂纹面间断跳跃函数)(x H 表达式为：
otherwise
n x x if x H 0)(11)(*≥-⎩⎨⎧-= 式中:x 为样本点；*x 距x 最近点；n 为单位外法线向量。

各向同性材料的裂纹尖端渐进函数)(x F α表达式为：
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=2cos sin ,2sin sin ,2cos ,2sin )(θθθθθθαr r r r x F 裂纹尖端的渐进函数并不局限于各向同性弹性材料的裂纹建模。

可用于弹塑性指数硬化材料，不同的裂纹尖端渐进函数的形式与裂纹位置、非线性材料变形程度有关。

扩展有限元方法(XFEM)可以缓解裂纹面网格划分带来的缺点，其基于整体划分的概念使扩展函数方便地插入到有限元中。

间断性可以通过与额外自由度相关联的扩展函数来确定。

同时扩展有限元方法保留了有限元框架及一些特性，如刚度矩阵的稀疏性及对称性等。

因此以有限元为基本框架，主要针对不连续问题进行研究，相对于传统有限元方法，扩展有限元法提高了描述复杂位移场的能力，增加了对于演化的非连续边界进行跟踪的灵活性，避免了网格重划分，当考虑裂纹扩展时其计算工作量和准确性要明显优于有限元方法。