专题37 空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。

围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。

几何体不是实实在在的物体。

平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。

例1-1．下列是几何体的是( )。

A 、方砖B 、足球C 、圆锥D 、魔方【答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。

例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面。

(×)(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。

(×)(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。

(×)(4)书桌面是平面。

(×)(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。

(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。

(6)平行四边形是一个平面。

(×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体。

(×)(8)任何一个平面图形都是一个平面。

(×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。

(√)(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。

(×)(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。

(√) 例1-3．下列说法正确的是 。

①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。

【答案】②③【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确。

[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。

A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面B 、一个几何体可以没有顶点C 、一个几何体可以没有棱D 、一个几何体可以没有面【答案】BC【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，故选BC 。

例1-5．如图所示的是平行四边形ABCD 所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD ；②平面BD ；③平面AD ；④平面ABC ；⑤AC ；⑥平面α。

其中不正确的是( )。

A 、④⑤B 、③④⑤C 、②③④⑤D 、③⑤【答案】D【解析】③中AD 不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误。

故选D 。

例1-6．下列结论正确的个数有( )。

①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线。

A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个【答案】C【解析】只有⑤不正确。

故选C 。

2、斜二测画法及相关计算(1)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤：①画轴：在平面图形上取互相垂直的x 轴和y 轴，作出与之对应的x '轴和y '轴，使得它们正方向的夹角为 45(或 135)；②画线(取长度)：平面图形中与x 轴平行(或重合)的线段画出与x '轴平行(或重合)的线段，且长度不变， 平面图形中与y 轴平行(或重合)的线段画出与y '轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半；③连续(去辅助线)：连接有关线段，擦去做图过程中的辅助线。

讲解：用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x 轴和y 轴平行(或重合)的线段。

(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： ①原图形直观图S S 42= ②直观图原图形S S 22=。

例2-1．判断对错：(1)相等的角在直观图中对应的角仍然相等；相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等。

(×)(2)平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行。

(√)(3)线段的中点在直观图中仍然是线段的中点。

(√)(4)利用斜二测画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形； (√)②平行四边形的直观图还是平行四边形； (√)③正方形的直观图还是正方形； (×)④菱形的直观图还是菱形。

(×)例2-2．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )。

A 、在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D 、斜二测坐标系取的角可能是 135【答案】C【解析】由平行于x 轴或z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴C 不对，故选C 。

例2-3．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图并说明画法。

【解析】(1)画x '轴，y '轴，使 45='''∠y O x ；(2)Ox 轴上取点)0,3(D ，在x O ''轴上取D '、B '，使OD D O =''，OB B O =''(如图)，在y O ''轴上取C '，使OC C O 21=''，在x O ''轴下方过D '作y O A D ''''//，使DA A D 21=''； (3)连接A O ''、B A ''、C B ''，所得四边形C B A O ''''就是四边形OABC 的直观图。

注意：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点。

(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。

例2-4．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法。

【解析】(1)画轴：画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴， 45=∠xOy (或 135)， 90=∠xOz ，如左图；(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD ；(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高；(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如右图。

注意：(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”。

例2-5．如图，C B A '''∆是水平放置的ABC ∆斜二测画法的直观图，6=''C A ，4=''C B ，能否判断ABC ∆的形状并求B A ''边的实际长度是多少？【解析】根据斜二测画法规则知： 90=∠ACB ，故ABC ∆为直角三角形，ABC ∆中，6=AC ，8=BC ，故1022=+=BC AC AB 。

注意：(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x '轴、y '轴平行的直线或线段。

平行于x '轴的线段长度不变，平行于y '轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可；(2)求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解；(3)原图的面积S 与直观图的面积S '之间的关系为S S '=22。

例2-6．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形C B A O ''''，则原平面图形的周长和面积分别为( )。

A 、a 2 242a B 、a 8 222a C 、a 2a D 、a 2 22a【答案】B【解析】由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积，∴a BC OA ==，a OB 22=， 90=∠BOA ，∴a OC AB 3==，原图形的周长为a 8，∴22222a a a S =⋅=，故选B 。

二、构成空间几何体的基本元素1、构成空间几何体的基本元素点、线、面是构成空间几何体的基本元素。

(1)点是元素，直线(线段)是点的集合，平面是点的集合(也是线的集合)。

(2)线段是直线的子集，直线是平面的子集。

线段、直线、平面都是无限集。

(3)线有直线和曲线之分。

面有平面和曲面之分。

2、平面及其表示方法(1)平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的。

(2)平面的表示方法：图形表示在立体几何中，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的符号表示 平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名， 还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名(1)(2)(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体。

4、点、线、面的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系。

(2)空间中直线与平面的位置关系①直线在平面内；②直线与平面平行：直线与平面没有公共点；③直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点。

讲解：直线与平面垂直：观察直线1AA 和平面AC ，我们看到直线1AA 和平面内的两条相交直线AB 和AD 都垂直，容易想象，当AD 在平面AC 内绕点A 旋转到任何位置时，都会与1AA 垂直。

直线1AA 给我们与平面AC 垂直的形象，这时我们说直线1AA 和平面AC 垂直，点A 为垂足，记作直线⊥1AA 平面AC 。

直线1AA 称作平面AC 的垂线，平面AC 称作直线1AA 的垂面。

点到平面的距离：在上图中，容易验证，线段1AA 为点1A 到平面AC 内的点所连线段的最短的一条，线段1AA 的长称作点1A 到平面AC 的距离。

5、空间中平面与平面的位置关系(1)两个平面相交：两个平面相交于一条直线，此时我们说这两个平面相交、如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直。

(2)两个平面平行：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行。

在上图中，在长方体1111D C B A ABCD -中，如果面ABCD 和面1111D C B A 分别作为长方体的底面，则棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 都与底面垂直且等长，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的长度称作两个底面间的距离。