即为方程（５），如对上式左右两边取散度，则 左边：ｖ·（ｖ×Ｂ）＝０
右边：Ｖ－（扫＋÷争）
：堑ｖ．Ｊ＋上晏ｖ．Ｅ
：堑ｖ．Ｊ＋堑堑
因左边等于右边，从而有
Ｖ’Ｊ＋３ｐ／ａｔ２０ 在这里，学生们就很自然地体会到在洛
伦兹变换下电荷守恒是必然的结果。
类似的，对方程（２）在主坐标中
ｖ７·白７＝０
（１９）
利用方程（８）、（１３），将主坐标中的量用非主
万方数据
Ｆ＝ｑ Ｅ＋÷ｕ×曰） …）
２．３ Ｅ的Ｂ变换性质
可由洛仑兹力公式（１１）导出下面的电场
和磁场的变换性质
Ｅ７ｚ ５ Ｅ
］
Ｅ＂ｓ＝ｙ（Ｂ一邸：）｝
（１２）
Ｅ７。＝ｒ（Ｅ：十郎，）ｊ
Ｂ ７。＝Ｂ。
］
Ｂ０＝’，（Ｂ＋胆：）｝
（１３）
Ｅ７。＝ｒ（ｓ：一雄，）ｊ
为了文章行文和思想的紧凑，方程（１２）、
问题；或者在引入相对论时，没有考虑与后续 课程学习的有效衔接［８１；或者教师没有对之
有足够的重视。 ２．１洛仑兹变换
洛仑兹变换为：
ｚ ７＝ｙ（ｚ一肛￡）｝
～ ，，、
ｃｔ ７＝ｙ（ｃｔ一触）ｊ
其中卢＝ｖ／ｃ，ｙ＝（１一酽）一主．
由方程（７）可得
ａ ａｚ７—
１ａ Ｃ ａｔ７
，．＝，
卢 １一ｃ
旦妇忙 引彦 ｙ
［６］陆果．基础物理学教程．高等教育出版社，１９９８
［７］徐行．力学．内蒙古人民出版社，１９８４ ［８］漆安慎、杜蝉娟．力学。高等教育出版社，１９８２
［９］徐胜蓝、盂东明．杨振宁传．复旦大学出版社，
１９９７
２ 万６ 方数据
第１８卷第ｌｏ期 ２００５年ｊ ０月
武汉科技学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＵＨＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ
第１５卷第６期 ２００２年１２月
高等函授学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
文章编号：１００６—７３５３｛２００２｝０６—００２３（０５）一０４
Ｖ０１．１５ Ｎｏ．６ Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２００２
导出麦克斯韦方程组的一种新方法＋
文章编号：１００９－－５１６０（２００５）－－００５４－－０５
麦克斯韦方程组是在一系列实验定律的基础上，借助于科学的假设而建立起来的。它不仅揭示了电磁场的运动规律，还 预言了电磁波的存在及其性质。有了麦克斯韦方程组，加上必要的定解条件，原则上可以解决一切宏观电磁场问题，它是整 个宏观电动力学的理论基础。而拉格朗日方程是分析力学中极为重要的方程之一，是用广义坐标表示的完整系的动力学方程。 因此，可将拉格朗日方程应用到物理学的其他领域。本文将对拉格朗日方程应用变分推导出密度形式的拉格朗日方程，在此 基础上推导出真空中的麦克斯韦方程组。
握的、成熟的基础部分，又尽早地接触尚未成
熟的前沿课题。有人可能会说：这样做与传
统相比跳跃性太大。用杨振宁的话【９Ｊ来回 答：中国的教育是循序渐进式的，美国的教育
是跳跃式的，各有千秋。如果两种教育方式
能够互补，则受益的不仅仅是学生。
感谢：笔者感谢陈义成老师给予的热情
细致的指导和周到的建议，感谢张超给予的
叩旦，巩一￡ 卜
、●，｝一２ 、●，Ｊ
洛仑兹变换规则（７）应用于四维动量
（Ｐ，Ｅ／ｃ）和四维电流密度（Ｊ，ｃｐ）．对于（ｔ，，
ｃｐ）有：
厂ｃｐ：我ｃｐ二黜 ７＝ｙ（ 一Ⅳ。）』
㈥～
同时连续性方程
Ｖ’．，＋雾２ ０
（１０）
可以改写为ａ∥＝０，其中，是四矢（ｐ
＝１，２，３，４）． ２．２洛仑兹力
在电磁场中运动带粒子的基本力学公式 是
是：
ｖ·Ｅ＝４邓
（１）
ｖ·Ｂ＝０
（２）
方程（１）是高斯定理的微分形式，将电场
Ｅ与电荷源Ｐ联系起来了，其中Ｐ是电荷密 度；方程（２）表示磁场是元源场，因为迄今没
有发现“磁荷”的存在，然后在解释电流产生
磁场（奥斯特实验）的基础上给出磁场的旋度
方程：
ｖ×Ｂ：与
（３）
而电场是无旋的
ｖ×Ｅ＝０
（４）
方程（３）中的Ｃ是真空中的光速，方程
验的基础上“推导”出来的。这种循历史的发
展线索向学生演示“推导”麦克斯韦方程组， 在历史上有其重大的积极意义，可是随着时
代的发展这种做法是可以适当改变的。 ２在正文中要用到的相对论知识
我国的理工科大学都要在一年级开设力 学课程。如果在学了牛顿力学的基础上，再
有目的地引入相对论，这里就没有必要补充
了。而实际上有些教材［７］没有涉及到这个
Ｖ０１．１８ Ｎ０．１０ Ｏｃｔ．２００５
麦克斯韦方程组的一种推导方法
梅延玲
（湖北民族学院信息工程学院，湖北恩施４４５０００）
摘要：将分析力学的拉格朗日方程应用到电磁场领域。从广义能量的角度导出麦克斯韦方程组。
关键词：电磁场：拉格朗日方程：麦克斯韦方程组：广义势：张量
中图分类号：０４４１
文献标识码：Ａ
＝ｒ（Ｅ，一团。）
（２８）
Ｅ７：＝ｒＥ：＋），ｆ旦×）Ｃ Ｂ
＝ｒ（Ｅ。＋团，）
（２９）
公式（２７）、（２８）、（２９）用Ｅ、Ｂ表达Ｅ ７与正文
中的公式（１２）相一致。 下面再来以（２７）、（２８）、（２９）为基础推导
出正文中的公式（１３）。我们注意到主坐标系
与非主坐标系相互转变时，仅仅是改变ｐ的 符号，对Ｅ，由（２８）式有
（３）、（４）仅适用于静态的情况，任意时刻电流
密度Ｐ和电流强度Ｊ不随时间改变，即Ｅ和 Ｂ也不随时间改变。考虑时间的影响，方程
（３）、（４）可分别改写成
Ｖ×Ｂ＝扫十÷筹ａ
（５）
Ｃ
Ｃ
ｒ
Ｖ×Ｅ＝丢筹
（６）
方程（５）是麦克斯在发现方程（１）、（２）、（３）、＋收稿Ｅｌ源自：２００２—１２～１０万方数据
２３
第１５卷第６期 ２００２年１２月
合并后
第１５卷第６期 ２００２年１２月
高等函授学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
Ｖ０１．１５ Ｎｏ．６ Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２００２
（Ｖ×耽＝气＋≥缸（１７）
考虑到上式中ｚ方向的任意性，从而有
ｖ×Ｂ：与＋土知 （１８）
高等函授学报（自然科学版）
Ｊｏｔ皿ａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｔｔｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
Ｖ０１．１５ Ｎｏ．６ Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２００２
（４）－ｑ电荷守恒定律ｖ·Ｊ＋等＝０不自洽的 【，Ｌ
情形下引入了位移电流３Ｅ／ａｔ项，“导出”了
方程（５）。方程（６）是在法拉第的电磁感应实
鼓励。
附录：公式（１２）、（１３）的推导
令Ｋ为实验室坐标系，一个带电荷为ｑ 的粒子以匀速ｕ沿Ｘ轴运动，作用于其上的
洛仑兹力为
，
－，
、
Ｆ＝ｑ ｆ Ｅ＋兰×Ｂ
一＼
Ｃ
／
（２５）
其中Ｅ、露分别为电场和磁场，在粒子上建
立静止坐标第Ｋ７，在Ｋ７系上有
Ｆ７＝ｑＥ７
（２６）
２５
第１５卷第６期 ２００２年１２月
高等函授学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
Ｅ，＝），（Ｅ ７，＋闺７：）
（３０）
将（２８）代入有，
Ｅｙ＝ｙ［７（Ｅｙ一皿Ｂ：）＋团７。］
从而 Ｂ７。＝徊；＋锛
因１—７２＝一卢２７２，从而
Ｂ ７：＝ｒ（Ｂ：一隅）
（３１）
对公式（２９）进行同样类似的处理，可得
Ｂ７，＝７（Ｂ，＋胆：）
（３２）
进一步讨论可知Ｂ ７。＝Ｂ。，从而可推出正文 中的公式（１３）．
中图分类号：０ ４４１
文献标识码：Ａ
不久前在第八届全国高等物理学术交流 与研讨会上，冯端院士作了一个报告…。他 以牛顿力学的发展为例，指出科学理论的表 达是随时代的发展而变化的。笔者深受报告 的启发，在对自己学习和研究的电磁领域作 了一番思考后，发现目前国内的电磁学或电 动力学教材［２］，［３】对麦克斯韦方程组的引入 都采用完全相同的或类似过程。笔者认为， 在相对论日益广泛应用的今天，有必要不采 用传统的方法，而做一些新的尝试。事实上， 国内外有不少人在这方面做了许多尝试性的 工作。［４］，［５］，［６］本文探讨假定在向低年级学 生传授电磁学的时候，有必要打破相对论只 在高年级讲授的传统，引入必要的、适当的相 对论知识，在两个散度公式的基础上导出完 整的麦克斯韦方程组。 １传统的作法
ｙ（丢＋ｐ一１ ８）Ｅ。＋弓ｙ（Ｅｙ一闰；）
＋专（Ｅ。＋腽）＝竽（ｃｆＤ一阢） （１５）
改写为
ｙ（象＋旦８ｙＦｙ＋鱼８ｚ：） ＋印［÷争。一（如８ｙ。一缸）］
＝７４即一Ｙｅ母。
即
７Ｖ·Ｅ＋卵［｛争。一（如３ｙ。一争，）］ ＝ｒ４ ７ｒｐ一帮气
由方程（１）可知ｙｖ·Ｅ＝７４ ７ｒｐ，从而上 式可写为
丢挚。一（争：一争，）一瓤ｃ１６，
黄文涛 吴含荣
（华中师范大学物理科学与技术学院武汉４３００７９）
摘要：科学理论的表述方法应随时代的发展而有所不同，为此，本文利用少量的相
对论知识，依靠作用于电磁场中运动带电粒子的洛仑兹力表达式，以不同于传统的方
法，从两个麦克斯韦散度方程出发，将完整的麦克期韦方程组导出。
关键词：麦克斯韦方程组；洛伦兹变换；洛伦兹力；课程整合
坐标中的量表示，可得
ｙ（乏＋卢一１。ｄｏ。／尸Ｂ＋￡ｙ（Ｂ：＋胆，）麦ｙ（段