麦克斯韦方程组的几种推导方法及其比较摘要：介绍麦克斯韦方程组的几种推导方法。

从经典、能量守恒、拉格朗日方程的方面推导得出现有的麦克思维方程组，从侧面说明了麦克斯韦的普遍适用性和有其他一些普遍存在的定理定律的等价性。

通过分析三种方法的优缺点，从而加深对麦克斯韦方程组的物理意义的理解，培养科学求真的探索精神。

关键词：拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律目录引言： (4)1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 (4)1.1 第一方程式的推导 (4)1.2第二方程式的推导 (5)1.3第三方程式的推导 (6)1.4第四方程式的推导 (7)2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 (8)3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。

(10)4_三种方法的比较 (14)4.1经典方法的优势 (14)4.2能量方法推导的优缺点 (14)4.3拉格朗日方程推导的特点 (15)结束语： (15)参考文献： (15)引言：麦克斯韦方程组是电磁理论的基本方程，在电磁学中有很重要的地位，在与很多工业领域有很多应用。

关于它的推导建立，有我们熟知的经典方法，还有后来的根据拉格朗日方程等分析力学方法推导，以及由能量守恒的方法推导等诸多方法。

下面我们来一一推导证明1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 1.1 第一方程式的推导 电荷的库仑定律：F =0ε41πr r q q 3'此电荷的场强为：E =0ε41πr rq 3对电荷的场强沿着球面求面积分，得到：⎰SdS E =∑0εi Q =⎰V1dV ρε电场强度通过面元d S的通量为：dS E •=Ecos θds=204rQ πεcos θds 。

θ是d S与E 的夹角，cos θds/2r 位球面的立体角元。

所以包裹电荷的闭合曲面和球面的积分是相同的。

由于对电荷的场强求面积分只与包裹着的电荷有关系，所以积分的面没有关系。

又因为电荷的体密度的定义：ρ=V q根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度的体积分：⎰•∇VdV E=ρV/0ε得到：0/ερ=•∇E等效都是在真空下的方程式，如果在介质下的束缚电荷密度p ρ，那么：E•∇=（ρ+p ρ）/0ε。

定义电位移矢量：D =0εE +P－∇P=p ρ， 则推广后得：D•∇=ρ， (1.1.1)D =εE,其中ρ是自由电荷密度。

1.2第二方程式的推导静电力是保守力，对静电场强度对任意闭合曲线的积分为零： l d F L⎰=0所以对应的电场强度也为零，即： l d E L⎰=0由法拉第电磁感应定律：ε=－dt d φ=－S d B dt d S ⎰又因为在闭合电路中感应电动势是电场强度的线积分： l d E L⎰=ε得到： l d E L ⎰=－S d B dt d S⎰ 根据斯托克斯公式将电场强度的线积分化成电厂强度的旋度的面积分： ⎰⨯∇S E =－S d B dt d S⎰ 将上式化成微分形式，所以有：∇×E =－t B∂∂(1.2.1) 由于上式中只有电场强度、磁感应强度等电磁场的特点的参数，于介质无关，所以无论是介质中还是真空中都是一样的。

1.3第三方程式的推导根据比奥－萨法尔定律可以得到一小段电流元产生的磁场：d B =304r r l Id⨯πμ 那么长度为无穷大导线电流产生的磁场为： B=rIπμ20， （r 是离导线的距离）对包围直导线的闭合的回路，并求积分得到： l d B L⎰=0μI (1.3.1)对于没有包围载流直导线的回路磁感应强度的线积分为零。

根据斯托克斯公式和电流密度的定义式（1.3.1）还可以写成：⎰⨯∇SdS B =⎰SS d J 0μ去掉积分符号化成微分形式后：∇×B=J 0μ (1.3.2) 变化的电场会产生位移电流，位移电流也会产生磁场：⎰L l d B0μ=dS tE S ⎰∂∂ 9ε 同理也可变为：∇×B =00μεt E ∂∂(1.3.3)综合(1.3.2)、 (1.3.3)得到：∇×B =0μJ +tE ∂∂00με推广到介质中，电磁介质中的分子在电场下会出现极化电荷，极化电荷运动会出现极化电流P J，就会出现和自由电荷类似的极化电流密度；在磁场作用下，分子电流就先通电的小线圈在磁场中受到磁场的作用一样，也会出现定向的规则取向，很多分子电流产生的磁场相当于总的磁化电流产生的磁场，所以就要求出等效的磁化电流的密度M J。

上式就变为：∇×B =0μJ +P J +M J +tE∂∂0με。

(1.3.4) J可以通过实验来测定，但是P J 、M J 会随着电场和磁场的增强而增大。

定义：H =0μB－M ，M J =∇×M；又因为：D =0εE +P，P J =tP ∂∂；所以上式可以化为 ：∇×H =J +t D∂∂(1.3.5) 1.4第四方程式的推导 根据比奥萨法尔定律B =dV r r x J V ⎰⨯'30)(4 πμ=－dV rx J V⎰∇⨯'1)(40πμ ∇是对x 的作用的算符，得：∇×[J （x '）]=（r 1∇）×J （x '）因此：B =∇πμ40×V d r x J V ''⎰)(=∇×A 式中A =πμ40V d rx J V''⎰)( 用∇点乘B =∇×A 左右两边，由于旋度的散度为零得到•∇B=0；也可以认为磁感应强度是闭合的，对任何闭合曲面的通量为零，即根据高斯定理写出：⎰⎰SS d B=0；根据斯托克斯公式化成：⎰⎰SS d B=⎰⎰⎰•∇VB =0；其化成微分形式为：B•∇=0 (1.4.1)由于方程式中仅包含磁感应强度B ，代表的是电磁场的性质，仅与电磁场本身有关系，无论在真空还是在介质中表达式是一样的。

综合(1.1.1) (1.2.1) (1.3.5)（1.4.1）为麦克斯韦方程组 2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 为了以下都是真空中的麦克斯韦方程推导。

电磁场对电荷做的功率为dV v f V⎰•空间内电磁能变化率为：－⎰V wdV dt d流出闭合空间V 的能流为：⎰Sd S σS 、V 分别表示闭合空间的总的表面积、总的体积。

参照热力学第一定律：能量的变化=对外做的功+因为热传导热量的变化，可以得到电磁场的能量守恒定律：－⎰VwdV dt d=dV v f V ⎰• +⎰S d S σ微分形式是：S •∇+t w∂∂=－v f • 【1】 (2.1)又因为：f =V 洛伦兹F =V B v q E q ⨯+=ρE +ρv ×B 带入（2.1）得：v f •=（ρE +ρB v⨯）v •=ρv E •+ρv ×B v •由于第二项B v ⨯与v垂直所以为零，那么v f •=ρv E •=E j • (2.3)其实（2.2）表示电场对电荷做功，磁场不做功。

能量密度为： )1(212020B E w με+=(2.4) S是电磁波传播的能量密度，在时变电磁场中可能有电磁波，波就是能量的流动，所以S≠0；S的表达式为：S =B E⨯01μ ])()[(1)(100E B B E B E S •⨯∇-•⨯∇=⨯•∇=•∇μμ （2.5）将(2.3) (2.4)(2.5)带入(2.1)得到：0)1(][1000=+⨯∇-∂∂•+•∂∂+⨯∇J B t E E B t B E μεμ 【2】(2.6) 要让（2.6）有三种情况第一种情况：B 和E 等于零,中括号内的不为零。

（2.6）是对任意的在真空中的电磁场都是成立的， 任意的B 和E 可以不为零。

第一种程度不成立。

第二种情况：(∇×E )+t B ∂∂ 与B 并且(t EJ B ∂∂++⨯∇-01εμ)与E 都是垂直的，那么t B ∂∂ 与B 垂直，t E ∂∂与E 垂直，那么电磁场都是特定的。

所以不符合任意真空电磁场的条件。

第三种情况：0=∂∂+⨯∇t B E ，0100=∂∂++⨯∇-tE J B εμ整理得到：∇×E =－tB ∂∂ (2.7)t E J B ∂∂+=⨯∇0ε (2.8)用∇点乘（3.8）式的左右两边，由于旋度的散度为零，所以:－t B ∂•∂∇ =0,再对方程左右两边t 积分得到：B•∇=0 （2.9）用∇点乘（2.8）式的左右两边，由于旋度的散度为零，所以：00=∂•∂∇+•∇t E Jε在非恒定电流中有电荷守恒定律：j •∇=－t ∂∂ρ,（恒定电流中t∂∂ρ=0是特殊情况）带入上式有t E ∂•∂∇ 0ε=t∂∂ρ，在对左右求关于t 的积分有：E•∇0ε=ρ (2.10)（2.7）(2.8) (2.9)(2.10)构成了真空中的麦克斯韦方程组。

3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。

拉格朗日量：L=T －V=21m 2v －q(ϕ－A v •)带入拉格朗日方程：αq L dt d ∂∂－αq L ∂∂=0（α=1,，2，3，…s ） (3.1) 在这里α等于3；∂q 分别等于x ，y ，z 。

由于推迟势：【3】V d rc rt x t x V'-'=⎰04),(),(περϕV d rc r t x J t x A V '-'=⎰),(4),(0 πμ 因为A,ϕ都是x,t 的函数，所以写成),(),,(t x A t x ϕ所以：拉格朗日量可以变为：)],(),([212121222t x A v t x q z m y m x m L •--++=ϕ 那么拉格朗日量对广义坐标的偏导为：xA v q x q x L ∂•∂+∂∂-=∂∂)(ϕ yA v q y q y L ∂•∂+∂∂-=∂∂)(ϕ z A v q z q z L ∂•∂+∂∂-=∂∂)( ϕ拉格朗日量对广义速度的偏导为：1qA x m x L-=∂∂ 2qA y m yL+=∂∂ 3qA z m zL+=∂∂ 将上一组式子对t 求导：dtdA q x m x Ldt d 1+=∂∂ dtdA q y m y Ldt d 2+=∂∂ dt dA q z m y Ldt d 3+=∂∂ 带入拉格朗日方程组得到：)(1xA v q x q dt dA q x m ∂•∂+∂∂--+ϕ=0)(2y A v q y q dt dA q y m ∂•∂+∂∂--+ϕ=0)(3zA v q z q dt dA q z m ∂•∂+∂∂--+ ϕ=0分别将上式乘以i ，j ，k ，相加)]([)()(321kA jA iA dt d q z A v k y A v j x A v i q z k y j x i q a m ++-∂•∂+∂•∂+∂•∂+∂∂+∂∂+∂∂-= ϕϕϕ 上式第一项可以变为：ϕ∇-q上式第二项可以变为：)(A v q•∇上式第三项可以变为：dtAd q -则上式可以变为：dt Ad q A v q q a m-•∇+∇-=)(ϕ (3.2)由于：dz zA dy y A dx x A dt t A A d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=+∂=dt A dt A dzzAy y A x x A ∂∂+∂∂+∂∂ A v tA dt A d∇•+∂∂= (3.3) 将上式带入(3.2)得到：])([)(A v A v q t Aq a m∇•-•∇+∂∂+∇-=ϕ由于公式：A v A v A v∇•-•∇=⨯∇⨯)()( 化简得到：)]()[(A v tA q a m⨯∇⨯+∂∂+∇-=ϕ【4】又因为运动电荷的所受的洛仑兹力：B v q q E F⨯+==)(B v E q ⨯+在理想状态下，电荷不受重力，则合力与洛仑兹力相等。