平面解析几何
第七章 直线和圆的方程Fra bibliotek平面解析几何
研究几何问题
以代数的方法
平面解析几何的产生背景
解析几何创始人：法国 数学家笛卡儿和费马
7.1
直线的倾斜角和斜率
请作出函数的 y 2 x 1 图象
A（0，1）
P（1，3）
P
A
l
方程y 2 x 1
直线l
直线l上的点的坐标满足方程 2 x 1 y
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0 x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
0 0
倾斜角的取值范围是 0 180 .
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
y
0
2

x
(1)k 2, arctan2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135


(1) 0 ; (2) 90 ; (3) 45
证明三点共线的解析几 何方法：斜率相同
作业： 习题7.1： 5题 1
0
x
即
y y k x x
2 2
1
1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
向量P P2 x2 x1, y2 y1） （ . 1
过原点作OP P P2 . 1
则P的坐标是（x2 x1 , y2 y1） .
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
思考：为什么用 的正切来表示斜率？
y
C
2
0
A B

x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾 斜程度。
下列说法对吗？
(Yes (1)任何一条直线都有唯一 的倾斜角。 )
(2)任何一条直线都有唯一 的斜率。 (No )
如何用两点的坐标表示直线的斜率
方程y 2x 1 的解( x, y)对应的点在直线上。 l
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
1、直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
倾斜角 90
bd (2)当a c时，斜率 k ac
bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan ac ac bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan( ) ac ac
P37练习：
(1)k 0; (2)k 3; (3)k不存在; (4)k 1
tan
y y x x
2 2
1
1
即
y y k x x
2 2
1
1
直线的斜率计算公式：
即
y y k x x
2 2
l
y P2
1
P
1
OP P P2 ( x2 x1, y2 y1 ) 1
P 1
0
x
直线的方向向量： , (或P , P2 ) OP 1
(当x1 x2时)
1 y2 y1 OP ( x2 , x1 , y2 y1 ) (1, ) x2 x1 x2 x1
此时，方向向量为(1, k )
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300， 直线l1 l2，求l1 , l2的斜率。
解：
3 l1的斜率k1 tan 1 tan 30 , 3
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
| PP2 | k tan | PP | 1
| PP | y2 y1 2 | PP | x2 x1 1
tan
l
y y x x
2 2
y P2
1
1
P 1

P
直线的斜率计算公式：
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k 例如：直线 的倾斜角为 , 则斜率为： tan 45 1 l 45
k 直线l的倾斜角为 , 则斜率为： tan120 3 120
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
0
l2的倾斜角 2 900 300 1200 ,
l2的斜率k2 tan1200 tan( 0 600 ) tan 600 3. 180
例2：求经过A(a, b), B(c, d )两点的 直线的斜率和倾斜角。
( 解：1)当a c时，斜率k不存在；