20 讲题目：平面波与球面波；空间频率；角谱：波的叠加；空间频率的丢失：卷积的物理意义；抽样定理；衍射与干涉；透过率函数；近场与远场衍射；“傅里叶变换与透镜”；対易：衍射的分析法：空品対易；全息；阿贝成像原理（4f 系统）；泽尼克相衬显微镜；CTF;OTF;非相干与相干成像系统；衍射的计算机实验；衍射的逆问题；叠层成像（Ptychography）；如何撰写科技文章面有限短距离 z 处得观察平面上，坐标是(0, b).求观察平面上的光强分布，并说明该光强分布与孔径是什么关系;若该孔径是两个矩形孔，求观察平面上的光强分布，并画出沿 y 轴方向的𝐴𝑘光强分布曲线。

解：孔径平面上透射波的光场分布为U(𝑥0 , 𝑦0 ) = exp(−𝑗𝑘𝑧) exp {−𝑗 [𝑥0 2 +𝑧抽样定理：利用梳状函数对连续函数𝑔(𝑥, 𝑦)抽样，得𝑔𝑠 (𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑔(𝑥, 𝑦)抽样U(x, y) =函数𝑔𝑠 ,由δ函数的阵列构成，各个空间脉冲在𝑥方向和y方向的间距分别为𝑋, 𝑌。

每个δ函数下的体积正比于该点 g 的函数值。

利用卷积定理，抽样函数𝑔𝑠 的频谱为空间域函数的抽样，导致函数频谱𝐺的周期性复𝑛 𝑚现，以频率平面上( , )点为中心重复𝐺见图。

假exp⁡[𝑗𝑥𝑦𝑋𝑌∞(𝑌2𝐵𝑦称为奈奎斯特间隔。

显然，当函数起伏变化大，包含的细节多、频带范围较宽时，2𝑋12𝐵𝑥)(2𝑌12𝐵𝑥)=(4𝑋𝑌)(4𝐵𝑥 𝐵𝑦 ) = 16𝑋𝑌𝐵𝑥 𝐵𝑦 = 𝑆𝑊这是空间带宽积（函数在空域和频域中所占面积之积）2.10 若只能用𝑎 ∗ 𝑏表示的有效区间上的脉冲点阵对函数进行抽样，即𝑥𝑦𝑥𝑦𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦)[𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡( )]𝑋𝑌𝑎𝑏试说明，及时采用奈奎斯特间隔抽样，也不在能用一个理想低通滤波器精确恢复𝑔(𝑥, 𝑦)。

解：因为表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复，也有贡献不可省略。

用𝑎 ∗ 𝑏表示的有限区间上的脉冲点阵对函数进行抽样，即𝑥𝑦𝑥𝑦𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦)[𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡( ) ，𝑋𝑌𝑎𝑋𝑌𝑏𝑛∞𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑎𝑓𝑥 )𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑏𝑓𝑦 ) = [∑∞𝑛=−∞ ∑𝑚=−∞ 𝐺(𝑓𝑥 − , 𝑓𝑦 −𝑋𝑛 𝑚)] ∗ 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑎𝑓𝑥 )𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑏𝑓𝑦 ),上式右端大括号中的函数，是以( , )点为中心周期性重复出现的𝑌𝑋 𝑌函数频谱𝐺。

对于限带函数，采用奈奎斯特间隔抽样，𝐺𝑠 中的各个频谱区域原本不会发生混叠现象，但是和二维𝑠𝑖𝑛𝑐函数卷积后，由于𝑠𝑖𝑛𝑐函数本身的延展性，会造成各函数频谱间发生混叠现象，因而不再能用低通滤波的方法精确恢复原函数𝑔(𝑥, 𝑦)。

从另一角度看，函数𝑔(𝑥, 𝑦)被𝑥𝑦矩形函数限制范围后，成为𝑔(𝑥, 𝑦)rect( )rect( ),新的函数不再是限带函数，抽样时会发生频𝑎𝑏谱混叠，可以得出同样的解释。

2.11 如果用很窄的矩形脉冲阵列对函数抽样（物理上并不可能在一些严格的点上抽样一个函𝑥𝑦𝑥𝑦𝑋𝑌𝐿𝑥𝐿𝑦数）即𝑔𝑠 (𝑥, 𝑦) = [𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( )] ∗ [𝑟𝑒𝑐𝑡 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( )]式中，𝐿𝑥 、𝐿𝑦 为每个脉冲在𝑥, 𝑦方向的宽度。

若抽样间隔合适，说明能否由𝑔𝑠 还原函数𝑔(𝑥, 𝑦)。

解：用很窄的矩形脉冲阵列对函数进行抽样，例如当采用 CCD 采集图像，每个像素都有一定的尺寸大小。

这时抽样函数𝑥𝑦𝑥𝑦𝑔𝑠 (𝑥, 𝑦) = [𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( )] ∗ [𝑟𝑒𝑐𝑡 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( )]对应的频谱为𝑋𝑌𝐿𝑥𝐿𝑦𝑛∞𝐺𝑠 (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) = [𝐺(𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) ∗ ∑∞𝑛=−∞ ∑𝑚=−∞ 𝛿(𝑓𝑥 − 𝑋 , 𝑓𝑦 −𝑚𝑛∞)]𝐿𝑥 𝐿𝑦 sinc(𝐿𝑥 𝑓𝑥 )sinc(𝐿𝑦 𝑓𝑦 ) = [∑∞𝑛=−∞ ∑𝑚=−∞ 𝐺(𝑓𝑥 − 𝑋 , 𝑓𝑦𝑌𝑚− )]𝐿𝑥 𝐿𝑦 sinc(𝐿𝑥 𝑓𝑥 )sinc(𝐿𝑦 𝑓𝑦 ) , 由𝑌𝑛 𝑚于𝐿𝑥 、𝐿𝑦 尺寸很小，二维𝑠𝑖𝑛𝑐函数是平缓衰减的函数，对𝐺𝑠 中各个以( , )点为中心的函数频𝑋 𝑌谱𝐺(𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 )的高度给以加权衰减。