一、点弧关系与点角定义 设P( x ， y )是平面直角坐标系XOY内任意一点，如
图1所示。建立关系 f ， f 定义为从X正半轴绕原点O逆 时针旋转至P时所扫过的弧度。很显然， f 将P映射到 半开半闭区间[0，2π )中，但这种映射并非一对一的一 般函数关系，而是一种多对一的关系。但是，当限定
所有点P在半径为 r (> 0)的圆弧(如图虚线)上时，关系
(3) α s> α e
如图3（c）所示，起点S应位于图示阴影区域，
插补点D位于逆圆弧SE上。仔细观察可以发现，当D沿
弧SE从S走到E时，其点角αd从αs增大到αe+2π ，因此 可以将e同前重定义为αe=αe+2π 。
通过讨论可以看出，在上述三种情形下，刀具插
补点到达终点的条件都为 α d= α e，且情形(2)和(3)可
1.接三角函数法插补原理
如图2所示，设待加工圆弧半径为r，插补周期 为T ，恒定轨迹速度v，δ为步距角，ii ⋅ T 时刻插补点Pi
对应点角为α i，经过一个插补周期后下一时刻插补点 Pi +1点角为α i +1。
图2 插补原理图
由图示几何关系易知
δ ≈ vT / r
（1）
α i +1=α i+ δ
式中，cos( δ )、sin( δ )可在插补预处理中事先计算
出。再由下式计算出在该插补周期内各坐标轴增量为
Δxi+1 = xi+1 − xi ， Δyi+1 = yi+1 − yi
（7）
2.插补预处理
根据逆圆弧插补G代码G03X__Y__I__J__F__，
可以获取圆弧起点坐标、终点坐标、及圆心相对于起
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套插补程序，可在程序中设置-1的幂指数来将顺圆插
补和逆圆插补统一起来。设顺逆指数sn，当为顺圆弧
图4 圆弧插补流程图
三、算法实现与仿真结果
基于Visual C++6。0和开放式图形数据库OpenGL， 对本文所提出算法进行实现和仿真。图5为模拟刀具点 从点（45，45）逆圆插补至点（-45，45）的仿真图， 其中图5(a)为插补计算正进行中，图5(b)为插补结束时 刀具点停止于插补终点处。
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现代制造
二、圆弧插补算法(以逆圆插补为例)
由于后面终点判别要用到点角，为便于前后算法 统一，本文采用一种直接三角函数法，以坐标原点为 圆心的逆圆弧为例来说明，对于圆心不在原点可进行 坐标平移得到，不再赘述。
图14 粗加工程序
以及脊线样条形状的不同。经过多 套不同弯管模具的加工，Cimatron E在曲面造型与NC编程加工，再到 后处理都表现的非常优秀，上述萨 克斯弯管模具还远远不能体现其全 部功能。Cimatron E在复杂零件曲 面造型及加工编程功能之强大，基 于知识加工方面、自动化NC、基于 毛坯残留知识加工等，还有待于大 家的共同去研究利用。
（2）
又据圆的参数方程
x r i+1= cos(α i +1) y r i+1= sin(α i +1)
（3公式展开可得到插补递推公式
xi +1 = xi cos(δ ) − yi sin(δ ) （5）
yi +1 = yi cos(δ ) + xi sin(δ ) （6）
时的顺点角为α的相反数。这样与一个点相对应的点角 为(-1)sn α 。其余与前面分析过程完全相同，不同的是
在得到的某些公式中可能会多(-1)sn因子。 5.插补算法流程 根据前面几个小节的分析过程，以下给出具体插
补流程图，如图4所示。
图3 起点与终点存在的三种情形
(1) α s< α e
如图3(a)所示，由点角定义，起点S应处于图示
阴影区。从图中可以看出，在插补过程中，每插补一
步，当前点D的点角αd=αd+δ且满足关系αs≤αd＜αe， 但当插补到达终点，即D与终点E重合时应满足αd=αe，
此时插补停止。
(2) α s= α e
如图3(b)所示，此时起点S与终点E重合为插补整
圆时的情形。由于αs= αe，为保证在插补过程中当前 点D的点角d满足关系αs≤αd＜ α e，可人为地对 α e重 定义为αe=αe+2π 。同样地，每插补一步，当前点D的 点角αd=αd+ δ，直到αd=αe为止。
一种新型圆弧插补算法
□ 郑州航空工业管理学院 陈良骥
在现代计算机数控(CNC)系统中，插补算法大都采 用计算机的程序软件来实现。目前应用最普遍的插补 算法有基准脉冲法和数据采样法。在一些中高档CNC系 统中，数据采样插补因其易于实现多轴联动控制而被广 泛应用。直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线素，因此 大多数的CNC系统都具有直线和圆弧插补功能，只有在 少数高档数控系统中才具有输出抛物线、样条曲线等 复杂曲线的功能。由于多数非圆轮廓曲线都可采用圆弧 来逼近，且具有拟合的精度高于直线拟合和程序段数少 于直线逼近等优点，因此在系统不具备高级曲线输出功 能时，若有一个快速简单的圆弧插补功能则显得尤为重 要。关于圆弧插补及终点判别的方法已有很多，但这些 方法总的看来都比较复杂，不易于理解和编程实现。基 于以上所述，本文着重研究了一种圆弧插补及判断插补 是否到达减速点或终点的方法，并提出了“点角”这一 全新概念，成功地将其用于解决圆弧插补及终点判别， 该算法简单易于理解和实现。以下先提出点角的定义， 然后给出算法的具体实现过程。
图1 点与点角
意顺逆铣削方向的改变 最后，根据我们所选用的加工
中心Mikron HSM600系统heidenhain itnc530，选择后处理文件，生成 机床可读程序。启用IMSPOST选择 heidenhain itnc530后处理器生成 粗加工程序并用记事本打开，如图 14所示。
四、结束语
萨克斯弯管(Neck)部分有多种 形状，但无非是两截面尺寸不同，
f 即成为一一对应关系 f :ℜ [0，2π )，其中ℜ ={( x，y) |
x2+ y 2=r 2，r > 0}。姑且称这种关系为点弧关系，称
扫过的弧度为点角，用来表示。显然对第一象限的点
P（ x ， y ）有α = arctg ( y / x) 成立。同理，根据点角 的定义也可以对其余象限的点求得α 来。
点的坐标、进给速度等条件，在插补进行之前，应对
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这些数据进行处理，为插补做准备。首先计算圆心坐
标，坐标变换至以圆心为原点的局部系下(见图2)，由
起点S、终点E所在象限计算各自对应的点角 α s、 α e。
由起点S和圆心O计算半径r ，由(1)式计算步距角δ，同
(a)
(b)
图5 算法仿真
四、结论
在圆弧插补算法中引入点角，可以将插补算法变 得更简捷高效，更重要的是它能够很好地解决以往算法 难以解决的过象限及终点判别等问题。如将这一原理深 化可以将其运用于椭圆、抛物线等二次曲线的数据采样 插补算法中，因而具有广泛的应用价值和前景。
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以并为一种。但在此应该指出的是，当进行重定义后
得到的“点角”已非严格意义上的点角了，这样做却
能极大地简化编程，因此这里仍然称之为点角。重定
义 α e的工作可在计算出 α s和 α e后，加入如下条件语
句，即可完成：
if( α s>= α e) αe=αe+2π ；
4.统一顺、逆插补
更一般地，为使顺圆插补和逆圆插补可以共用一
时计算cos(δ )、sin(δ )，并设 α d为当前插补点角，将其 值赋为起点角 α s。
3.终点判别方法
由前面的点角定义可知，对于在预处理中计算出
的αs和αe只可能以下存在三种情形：αs<αe；αs=αe； α s> α e。这里始终以终点E处于第二象限为例分别进行
讨论，其余象限雷同。
时取sn=1，而当为逆圆弧时sn=0。与前面逆点角定义 相应地，对点角拓展定义，定义由顺时针扫描至该点
文中提出了平面域中点与弧度的映射关系和点角的概念。作者运用点角在终点判别和统一顺逆插补方面简单快速的优点， 着重研究了一种基于直接三角函数法的新型圆弧插补算法。该算法特别是在终点判别处理方面较传统算法做了较大改进，便于 理解和计算机编程的实现。仿真结果表明，该算法计算稳定，可以应用于实际数控系统中进行插补计算。