第四章 平面电磁波的传播
§1 平面电磁波 §2 电磁波在介质面上的反射和折射 §3 有导体存在时电磁波的传播 §4 谐振腔 §5 波导
§4 谐振腔
一、谐振腔 二、理想导体的边界条件 三、矩形谐振腔
§4 谐振腔
一、谐振腔
f 1
2 LC 频率f 叫做回路的固有频率（或本征频率）。
一、谐振腔
（1）L 和C 无法再减小了； （2）当f 比较高时，电磁波向外辐射的功率与f 4成
行，才能导致这一点，而H又必须与E垂直，所以电 场线与界面正交，磁感应线与界面相切。
二、理想导体的边界条件
E Ez 0 z
Ez 0 即
z
En 0 n
例：证明书上P.160
（4.9）
三、矩形谐振腔
取金属壁的内表面分别为 x=0和x=L1 y=0和y=L2 z=0和z=L3
2E k 2E 0 2B k 2B 0
正比，这时能量损失比较严重； （3）当f 比较高时，导线产生趋肤效应，有效截面
积减小，电阻增大，热损耗增加。
一、谐振腔
所谓谐振腔就是一个中 空的盒子。它是用良导体制 成的 。
二、理想导体的边界条件
矩形谐振腔由6个面组成，边值关系为 n (E2 E1) 0
n (H2 H1) α
在理想情况下，导体内部没有电磁场。
（4.15）
再考虑x =L1，y =L2，z =L3面上的边界条件， 由产生驻波的条件，为使振荡最强，应使得L1为Ex 半波长的整数倍，即
三、矩形谐振腔
L1
m
kx
,
L2
n
ky
,
L3
p
kz
2 ,
k 2k
kx
m
L1
,
ky
n
L2
,
kz
p
L3
(m,n, p 0,1,2, )
（4.16）
m，n，p分别代表沿矩形三边所含的半波长的数目。
D1 0
三、矩形谐振腔
在y=0,z=0面上，Ex为切向分量，在y=0平面上的 每一点，Ex=0。因此Y中不能含有~coskyy项，即
同理
C2＝０ C３＝０
三、矩形谐振腔
Ex A1 cos kx x sinkyy sinkzz Ey A2 sinkx x cos kyy sinkzz Ez A3 sinkx x sinkyy cos kzz
三、矩形谐振腔
若L1≥L2≥L3，最低频率的谐振波模为（1，1， 0），其谐振频率为
110
2f
( 1 )2 ( 1 )2
L1
L2
f110
2
1
( 1 )2 ( 1 )2 v ( 1 )2 ( 1 )2
L1
L2
2 L1
L2
三、矩形谐振腔
f v, f v
f110
v
110
v 2
( 1 )2 ( 1 )2
L1
L2
110
2
( 1 )2 ( 1 )2
L1
L2
ky2
kz2
2 (m )2 (n )2 ( p )2
L1
L2
L3
mnp
(m )2 ( n )2 ( p )2
L1
L2
L3
mnp 称为谐振腔的本征频率。
（4.18）
三、矩形谐振腔
若（m,n,p）中有两个为0，则kx，ky，kz中也 相应地有两个为0，则由（4.15）知
Ex＝Ey＝Ez＝0， E＝0
（4.1） （4.2）
二、理想导体的边界条件
E1 H1 0 E2 0, H 2 0
nE 0
nH α
n•D=σ n•B=0
（4.5） （4.6）
(4.7) (4.8)
二、理想导体的边界条件
理想导体界面边界条件可以形象地表述为：在导 体表面上，电场线与界面正交，磁感线与界面相切。
这是因为：在导体内 n E 0 ，只有n与E平
d2 X dx2
k
2 x
X
0
d2Y dy2
ky2Y
0
d2 Z dz2
k
2 z
Z
0
（4.13） （4.12）
三、矩形谐振腔
X C1 coskx x D1 sin kx x Y C2 coskyy D2 sin kyy Z C3 coskz z D3 sin kz z
u(x,y, z) (C1 coskx x D1 sin kxx)(C2 coskyy D2 sin kyy)
(C3 coskzz D3 sin kzz)
（4.14）
Ci(i=1,2,3), Di(i=1,2,3)为常数，
三、矩形谐振腔
若u=Ex ，在 x=0面上，
Ex 0 x
u x
(C1kx
sin
kxx
D1kx
coskx x)(C2
coskyy
D2
sin
kyy)
(C3 coskzz D3 sin kzz) 0
三、矩形谐振腔
u(x,y,z)代替电场和磁场的任一直角分量，则有
2u(x,y, z) k 2u(x,y, z) 0
分离变量，设 u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
（4.10） (
三、矩形谐振腔
k 2 kx2 ky2 kz2 2
三、矩形谐振腔
E 0
Ex Ey Ez 0 x y z
kx A1 kx A2 kx A3 0
（4.17）
当满足（4.16）和（4.17）式时，（4.15）式代表腔内 的一种谐振波膜，或称为腔内电磁场的本征振荡，对每一组 （m,n,p）的值，有两个独立的偏振波膜。
三、矩形谐振腔
2
k
2 x