将以上两式相减， 得到
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
任意时谐矢量函数F(r, t)可分解为三个分量Fi(r, t)(i=x, y, z)， 每一个分量都是时谐标量函数， 即
图4.3-2 同轴线中电、 磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
与电路中的分析结果相吻合。 可见， 同轴线传输的功率 是通过内外导体间的电磁场传递到负载， 而不是经过导 体内部传递的。
（2） 当导体的电导率σ为有限值时， 导体内部存在沿 电流方向的电场
据边界条件， 在内导体表面上电场的切向分量连续， 即 E内z=E外z。 因此，在内导体表面外侧电场为
在直角坐标系中， 波动方程例如，式(4.1.5)可以分解为
(4.1.7) (4.1.8) (4.1.9)
4.2 时变场的位函数
4.2.1
由于磁场的散度恒等于零， 即 ·B=0， 因此可将 磁场表示为一个矢量函数的旋度， 即
B= ×A (4.2.1) 式中的矢量函数A称为电磁场的矢量磁位， 单位是T·m （特斯拉·米）。
它们用复数可以表示为
于是 其中 称为时谐矢量函数F(r, t)的复矢量。
(4.4.3) (4.4.4)
例4.4.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式。 解 （1） 由于 根据式（4.4.3）， 可知电场强度的复矢量为
(4.1.1)
(4.1.2)
(4.1.3) (4.1.4)
对式（4.1.2）两边取旋度有 将式（4.1.1）代入上式， 得到
利用矢量恒等式
和式（4.1.4）， 可得到
(4.1.5)
此式即为无源区域中电场强度矢量E满足的波动方程。 同理可得到无源区域中磁场强度矢量H满足的波动方程为
(4.1.6)
无源区域中的E或H可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6） 的波动方程得到。
将式（4.2.1）代入方程 即 可见，
(4.2.2)
式中的标量函数j称为电磁场的标量电位， 单位是V（伏）。 由式（4.2.2）可将电场强度矢量E用矢量磁位A和标量电位j
表示为 (4.2.3)
实际上， 设j为任意标量函数， 令
(4.2.4)
则有
由于j为任意标量函数， 所以由式（4.2.4）定义的A′和 j ′有无穷多组。 出现这种现象的原因在于确定一个矢量
解 （1） 在内、 外导体为理想导体的情况下， 电场 和磁场只存在于内、 外导体之间的理想导体介质中， 内、 外导体表面无切向分量， 只有电场的径向分量。 利用高斯 定律和安培环路定理， 容易求得内外导体环路之间的电场 和磁场分别为
内、 外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量为
电磁能量在内外导体之间的介质中沿z轴方向流动， 即由电源流向负载， 如图4.3-2所示。
需要同时规定该矢量场的散度和旋度， 而式（4.2.1）只 规定了矢量磁位A的旋度， 没有规定它的散度。
4.2.2 达朗贝尔方程
利用矢量恒等式 可得到
(4.2.5)
可得到
(4.2.6)
式（4.2.5）和式（4.2.6）是关于A和j的一组耦合微分方
程， 可通过适当地规定矢量磁位A的散度来加以简化。 由式（4.2.5）可以看出， 如果令
(4.3.1) (4.3.2)
在时变电场中， 电磁场能量密度w等于电场能量密度we 与磁场能量密度wm之和， 即
(4.3.3)
当场随时间变化时， 空间各点的电磁场能量密度也要随时 间变化， 从而引起电磁场能量流动。
4.3.2 能流密度
坡印廷定理可由麦克斯韦方程组推导而得。 假设闭合 面S包围的体积V中无外加源， 媒质是线性和各向同性的， 且参数不随时间变化。
4.4 时 谐 电 磁 场
4.4.1
对时谐电磁场采用复数方法表示可使问题的分析得以简化。 设u(r, t)是一个以角频率ω随时间呈时谐变化的标量函数， 其 瞬时表示为
u(r, t)=um(r)cos［ωt+f(r)］ (4.4.1)
式中: um(r)为振幅， 它仅为空间坐标的函数； ω为角频率；
f(r)是与时间无关的初相位。
(4.2.7)
则式（4.2.5）可以简化为 这时式（4.2.6）简化为
(4.2.8) (4.2.9)
式（4.2.7）称为洛伦兹条件， 式（4.2.8）和式（4.2.9）
就是在洛伦兹条件下， 矢量磁位A和标量电位j所满足
的微分方程， 称其为达朗贝尔方程。
4.3 4.3.1
电场和磁场都具有能量， 在线性、 各向同性的媒质中， 电场能量密度we与磁场能量密度wm分别为