第二章 Matlab矩阵和数组
由于Matlab自身的特点，它是一种 以科学计算为基础的软件，M语言 的基本处理单位是数值矩阵或向量， 在M语言中统一把矩阵、向量称为 数组。 首先了解一些相关的概念。
一、概述
1.变量和常量 • 变量：指在程序运行过程中需要改变数值 的量，每个变量都有一个名字（命名规则 和C相似，字母开头，数字字母和下划线 的组合。）每个变量在内存中占据一定的 空间。注：在matlab中变量名区分大小写。 • 常量：在程序运行过程中不需要改变数值 的量。
• 说明： • 访问向量元素的结果是创建新的向量。 • 访问向量的元素可以直接用元素在向量中 的序号，元素的序号不仅可以是单一的整 数，还可以是元素序列号组成的向量。 • 关键字end在访问向量元素时，表示最后一 个元素的序号。
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对向量元素的赋值： >>A(3)=-3 >>A(15)=-15 原先11～15号元素不存在，所以在赋值后， 会自动创建这些元素，对于没有明确赋值 的元素，则默认为0。
• 3.点运算 • 点运算是大小相等的矩阵或向量之间各元 素一一对应的运算，是它们对应元素的直 接运算，如C=A.*B表示A矩阵和B矩阵的相 应元素之间直接进行乘法运算（点乘.*）， 然后将结果赋值给C矩阵，这和矩阵的乘积 是不同的。
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例： >> x=1:5; 创建一个向量 >> x*x 结果是？ 出错 >> x.*x
A’ A^n A*B A/B A\B A+/－B
说明
矩阵转置 矩阵求幂 矩阵相乘 矩阵右除 矩阵左除 矩阵加减
inv
det rank
矩阵求逆，注意不是所有矩阵都有逆矩阵（方阵或满秩的阵）
求方阵的行列式 求矩阵的秩
[V,D]＝eig
trace svd Norm size length
求矩阵的特征向量和特征值
A(i,j) A(I,J) A(i,:)
A(:,j) A(:)
访问矩阵A的第i行第j列的元素 访问由向量I（决定行）和J（决定列）指定的元素 访问矩阵A中第i行的所有元素
访问矩阵A中第j列的所有元素 访问矩阵A中所有元素，将矩阵看作一个（列）向量
A(l)
A(Ｌ)
使用单下标的形式访问矩阵元素，l为标量
• (3)单下标和全下标之间的转换 • Matlab提供了两个函数可以完成它们之间 的转换： • sub2ind 由全下标→单下标 sub2ind(size(A),i,j) i,j 全下标 • ind2sub 由单下标→全下标 [i,j]=ind2sub(size(A),IND) IND单下标
• 其他引用矩阵元素的方法：
访问由向量L指定的矩阵元素，向量L中的元素为矩阵 元素的单下标数值
五、矩阵的运算
• 1.前面已经介绍了很多矩阵的生成函数，不 再重复。 • 2.矩阵的基本运算 • 对于矩阵的运算，Matlab提供了若干函数 和基本的运算规则，这些规则和函数分别 和线性代数中的概念和运算规则是对应的， 如下表 ：
运算
三、创建矩阵
• 一般的矩阵具有m行n列(m×n)，和二维数组 是同一个概念。 • 创建矩阵的方法： • 1.第一种直接输入法： • 适合创建矩阵的行、列比较少的矩阵。 • 如： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;] • 注：①整个矩阵的元素必须在[ ]之内。 • ②行与行之间要用分号;隔开，或者在需 要分行的地方用回车键。 • ③元素之间可以用空格或逗号间隔。
16 5 0 11 0 0 0 0
特殊矩阵的生成函数
diag compan hilb inhilb pascal magic
获取矩阵的对角线元素，也可以生成对角矩阵
产生伴随矩阵 产生希尔伯特矩阵 希尔伯特逆矩阵 产生帕斯卡矩阵（即杨辉三角) 产生魔方矩阵
vander
meshgrid
产生万达摩方阵
产生三维绘图基底坐标平面输出矩阵
2.数组 数组就是有序数列的集合。 数组的每一个元素都属于同一种类型，它 们使用同一个数组名和不同的下标来唯一 确定数组中的成员。下标是指数组元素在 数组中的序号。
3.向量 从编程语言的角度，向量就是一维数组， 从数学的角度看，向量就是1×N或N×1的 矩阵，即行向量或列向量。
4.矩阵 在Matlab中，矩阵的概念和线性代数中 定义的矩阵的概念是一样的。矩阵使用一 对圆括号或方括号括起来，符合一定规则 的数学对象。如：
• 创建多维数组也有两种方法： • 1.直接赋值的方法 • 2.使用Matlab提供的函数创建
1.直接赋值的方法
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• logspace和linspace的用法一样，用来创建 对数间隔的向量。 • 如： logspace(1,2,5) 与linspace比较 • 以上创建的都是行向量，如果要创建列向量， 在各个元素之间用分号;隔开，或对行向量进 行转置运算。转置运算符为单引号’。 • 如： x=[1;2;3;4] 4个元素的列向量 • A=linspace(1,2,5) 先创建一个行向量 • B=A’ 对A进行转置运算，结果赋给B
tril(A), trilu(A) A的主对角线的（下）上三角矩阵
介绍几个矩阵变换常用命令
命令格式
flipud(A)
功能
矩阵A上下翻转
fliplr(A)
rot90(A) rot90(A,K)
矩阵A左右翻转
矩阵A逆时针旋转90度 矩阵A逆时针旋转k个90度
reshape(A,m,n) 将矩阵A重新排列成m*n的矩阵输 出，各元素在矩阵中的序号不变
功能 创建n阶全零矩阵 创建m*n全零矩阵 n阶全1矩阵 m*n的全1矩阵 n阶单位矩阵，n=1时可省 n阶均匀分布的随机矩阵 m*n均匀分布的随机矩阵 n阶正态分布的随机矩阵 m*n正态分布的随机矩阵 n阶魔方矩阵
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例子： >>ones(4) >>magic(4) >>rand(3,4) >>A=magic(4) >>tril(A)
9 16 25
• ans = • 1 4
• >>x*x’ • 55 • >>x’*x
结果是？
1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25
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例： >>A=[1 2; 3 4] >>B=[5 6; 7 8] >>A*B ans = 19 22 43 50 >>A.*B ans = 5 12 21 32
• 点运算还包括点左除（.\），点右除（./）， 点乘方（.^）。该运算在Matlab中起着很重 要的作用。 • 如：当x是一个向量时，求其各元素的5次 方，不能直接写成x^5，而必须写成x.^5。 • 特别注意：点运算要求两个矩阵或向量的 维数相同。（是对应元素之间的操作）
稀疏矩阵
• 在实际工作中经常会遇到这样一类矩阵，这 类矩阵中数值为0的元素比较多（如单位矩 阵），这类矩阵一般被称为稀疏矩阵。如果 使用满阵的方式来表示稀疏矩阵，则0元素 将占用相当多的内存空间，尤其是在matlab 中，由于matlab默认数据类型为双精度，每 个双精度的数据元素要占用8个字节空间， 当0元素很多时，将占用很多的内存空间。 因此，在matlab中专门提供了稀疏矩阵的表 示方法。
• 赋值操作 matlab中赋值有两种格式： (1) 变量=表达式 （ = 赋值运算） (2) 表达式 对第二种形式，会将表达式的值赋给 Matlab的预定义变量ans。 如： x=4+cos(50) sin(50)
• 经常使用的几个常量： pi 圆周率 inf 无穷大，负无穷大可以表示为-inf Nan 代表“非数值量 ”，如0/0或inf/inf的结果。 eps 机器零阈值，若变量的绝对值小于eps， 则可以认为这个量为零 i和j 如果i和j不被定义，则表示虚数单位。
• 冒号表达式的一般格式为： • X=J:INC:K • ①J 表示第一个元素，K表示最后一个元素， INC表示元素递增的步长 • ②都用:隔开 • ③如果省略INC，则按默认步长为1 • ④INC为正，则要求K>J，INC为负，则要 求J>K • 如： x=1:0.01:1.1
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3.使用函数linspace或logspace创建向量 linspace是用来产生线性间隔向量的函数 用法： x=linspace(x1,x2,n) x1 第一个元素，x2 最后一个元素，n为元 素的个数。该函数将根据n的数值计算元素 之间的间隔， (x2-x1)/(n-1)。如省略n，为 100。 • 如： linspace(1,2,5) • linspace(1,2)
创建稀疏矩阵
• >>A=eye(5) %五阶的单位矩阵 • >>B=sparse(A) %用sparse构造为稀疏矩阵
• >>whos %可以比较A，B占用内存空间 • >>full(B) %用full函数将稀疏矩阵还原成满阵
多维矩阵
• 多维矩阵（数组），就是下标数超过了两 个的数组。常用的为三维矩阵，更高维的 用到的机会较少。 • 习惯上将第一维称为行，第二维称为列， 第三维称为页。要注意的是，第三维数的 页上，每一页的数组必须具有相同的行， 列。