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初中数学函数知识点归纳新

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限:(+,+) 第二象限:(-,+) 第三象限:(-,-) 第四象限:(+,-)3、坐标轴上点的坐标特征:x 轴上的点,y 为零;y 轴上的点,x 为零;原点的坐标为(0 , 0)。

4、点的对称特征:已知点P(),关于x 轴的对称点坐标是(), 横坐标相同,纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是() 纵坐标相同,横坐标反号 关于原点的对称点坐标是() 横,纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:平行于x 轴的直线上的任意两点:纵坐标相等; 平行于y 轴的直线上的任意两点:横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征:第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P ()的几何意义:点P ()到x 轴的距离为 ,点P ()到y 轴的距离为 。

点P ()到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离:X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x ||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x 212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式:已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为的中点,则:(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征: 在平面直角坐标系中,将点()向右平移a 个单位长度,可以得到对应点( ,y ); 将点()向左平移a 个单位长度,可以得到对应点( ,y ); 将点()向上平移b 个单位长度,可以得到对应点(x ,y +b ); 将点()向下平移b 个单位长度,可以得到对应点(x ,y -b )。

函数的基本知识:基本概念1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数。

*判断A 是否为B 的函数,只要看B 取值确定的时候,A 是否有唯一确定的值与之对应 3、确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。

4、函数的图像一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.5.函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

6、描点法画函数图形的一般步骤第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。

7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义:一般地,形如+b(是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数当0时,+b 即,称为正比倒函数,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式: (k≠0)说明: ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数2、解析式:(k 、b 是常数,k ≠0)3、图像:一次函数的图象是经过(0,b )和(-kb,0)两点的一条直线,我们称它为直线, 4、增减性(单调性): k>0,y 随x 的增大而增大(单调增);k<0,y 随x 而增大而减小(单调减) 5、必过点:(0,b )和(-kb,0):理由如下:中, ⑴当,时,?? 所以,该函数经过( , )点 ⑵当,时,??所以,该函数经过( , )点 所以,一次函数y kx b =+的图象是必经过(kb-,0)和(0,b )两点的一条直线.,注:两点确定一条直线。

画图时,可通过这两点来确定直线。

6、一次函数图像的画法:两点法1、计算必过点(0,b )和(-kb,0)2、描点3、连线(从左到右光滑的直线)7、增减性: k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x 增大而减小.8、倾斜度(只与k 相关):越大,图象越接近于y 轴;越小,图象越接近于x 轴.9、与y 轴交点①当b>0时直线与y 轴交于原点上方(即y 轴的正半轴);②当b<0时,直线与y 轴交于原点的下方。

(即y 轴的负半轴) 10、图像的上下平移(只与b 相关):直线,它可以看作由直线平移个单位长度得到.上加下减例如:23, 将直线 向 平移 个单位;56,将直线 的图象向 平移 个单位 11、一次函数y kx b =+的图象与性质12、两直线之间的位置关系(平行或相交):()若直线::3111222l y k x b l y k x b =+=+①平行:当时,;当时,与交于,点。

k k l l b b b l l b 121212120===//() ②相交:将两直线方程联立成一个方程组,1122{y k b y k b =+=+ ,解得结果,即为交点。

13、二元一次方程组与一次函数的关系:两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。

反比例函数图象和性质【知识梳理】一、反比例函数的基础知识 1、定义:一般地,形如xky =(k 为常数,o k ≠)的函数称为反比例函数。

xky =还可以写成kx y =1- 2、解析式:xky =(k 为常数,) 注:反比例函数解析式的特征:①等号左边是函数y ,等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k ),分母中含有自变量x ,且指数为1.②比例系数0≠kb>0 b<0 0(正比例函数)k>0经过:第一、二、三象限 不经过:第四象限经过:第一、三、四象限不经过:第二象限经过:第一、三象限 不经过:第二、四象限增减性(单调性):图象从左到右上升,y 随x 的增大而增大,单调增 k<0经过第一、二、四象限 不经过:第三象限经过第二、三、四象限 不经过:第一象限经过第二、四象限 不经过:第一、三象限增减性(单调性):图象从左到右下降,y 随x 的增大而减小,单调减必过点:经过(kb-,0)和(0,b )两点,正比例函数即是经过原点(0,0)③自变量x 的取值为一切非零实数。

(反比例函数有意义的条件:分母≠0) ④函数y 的取值是一切非零实数。

3、增减性(单调性): k>0,y 随x 的增大而减小(单调减);k<0,y 随x 增大而增大(单调增)4、反比例函数的图象:双曲线(1)图像的画法:描点法① 列表(应以O 为中心,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线)()对称性:是中心对称图形,对称中心是原点是轴对称图形,对称轴是直线和212()()y x y x==-⎧⎨⎪⎩⎪(3)反比例函数xky =(k 为常数,0≠k )中自变量0≠x ,函数值0≠y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支(称为左、右支),延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。

)时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪(4)比例系数k 的几何含义(右图):反比例函数y =kx(k≠0)中比例系数k 的 几何意义,即过双曲线y =kx(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分 别为A 、B ,则所得矩形的面积(阴影面积)为 k . (由y =kx变形可得: 因为面积为正数,所以k 取绝对值。

) 5、反比例函数性质如下表:k 的符号k >0k <0图像的大致位置经过象限第 象限第 象限增减性(单调性:单调区间内讨论)在每一象限内,从左到右看,y 随x 的增大而减小 ;(-∞,0)U (0,+∞)区间内,单调减在每一象限内,从左到右看 y 随x 的增大而增大(-∞,0)U (0,+∞)区间内,单调增图像的对称性中心称图形,对称中心是原点;同时,也是轴对称图形,对称轴是直线 和直线oyxyxo二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识:1.定义:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域(x 的取值范围):全体实数,R .2. 解析式(表达式):一般式:2y ax bx c =++(0a ≠,a b c ,,是常数): 说明:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.222244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a--=+++对于二次函数,经过配方变形为顶点式:y=a(x+)其顶点坐标为(,)补充:⑴二次函数解析式的表示方法(三种)①一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);②顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);[抛物线的顶点P (h ,k )]222244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a--=+++对于二次函数,经过配方变形顶点式:y=a(x+)其顶点坐标为(,)③两根式(交点式):12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).其中12,22b b x x a a--== (即一元二次方程求根公式)注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.⑵二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 3、二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.4、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:① 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;② ②然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.3、二次函数的图像:抛物线(1)对称性:抛物线是轴对称图形。

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