（二十二） 三角恒等变换[小题对点练——点点落实]对点练(一) 三角函数的求值1．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：选D cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.2．(2018·太原一模)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎣⎡⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1 解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1，故选C.3．(2018·安徽十校联考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选C sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.4．(2018·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，则tan x ＝( ) A.12 B ．－2 C.22D. 2解析：选D 由已知，得sin π3cos x －cos π3sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋12，即32cos x －12sin x ＝－12sin x ＋12，所以cos x ＝33.因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝ 2. 5．(2018·河北唐山一模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos 2α＝( ) A.2425 B.725 C ．－2425D ．±2425解析：选A ∵0<α<π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35>0，∴π4<α＋π4<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫2102＝2425.故选A.6．(2018·广东广州模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝( ) A ．－210B.210C.22D.45解析：选B 因为α为锐角，所以0<α<π2，则π6<α＋π6<2π3，因此sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6>0，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45.所以sin ⎣⎡⎭⎫α－π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝210. 7．(2018·荆州一模)计算：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝________.解析：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝sin 46°·cos 16°－cos 46°·sin 16°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12.答案：128．(2018·洛阳一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π－2π3＋2α＝－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝2sin 2⎝⎛⎭⎫α－π3－1＝－78. 答案：－789．(2018·豫北名校联考)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝________.(用数字作答)解析：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2.答案： 210．(2018·广东佛山教学质量检测)已知0<x <π2，且sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－210，则sin x ＋cos x ＝________.解析：由0<x <π2，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－210，得－π4<2x －π4<0，∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1－⎝⎛⎭⎫－2102＝7210.∴sin 2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π4＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋cos ⎣⎡⎭⎫2x －π4＝22×⎝⎛⎭⎫－210＋7210＝35.∴sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ＝1＋35＝2105. 答案：2105对点练(二) 三角恒等变换的综合问题1．(2018·山西临汾模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，则sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－2cos 2θ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D.13解析：选C f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，即2θ－π4＝2k π－π2，k ∈Z ，那么2θ＝2k π－π4，k ∈Z ，则sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－2cos 2θ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4－2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22＋2×22－22－2×22＝－13.故选C.2．(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，32 B.⎣⎡⎦⎤－12，32C.⎣⎡⎦⎤－12，1 D.⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：选A f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12， 因为T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故所求值域为⎣⎡⎦⎤0，32，故选A.3．(2018·江西赣中南五校模拟)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2 019x －π3的最大值为A ，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A.π2 019 B.2π2 019 C.4π2 019D.π4 038解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2 019x －π3 ＝sin 2 019x cos π6＋cos 2 019x sin π6＋cos 2 019x cos π3＋sin 2 019x sin π3＝32sin 2 019x＋12cos 2 019x ＋12cos 2 019x ＋32sin 2 019x ＝3sin 2 019x ＋cos 2 019x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2 019x ＋π6，∴f (x )的最大值为A ＝2；由题意，得|x 1－x 2|的最小值为T 2＝π2 019，∴A |x 1－x 2|的最小值为2π2 019.故选B. [大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝3(cos 2x －sin 2x )＋2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求f (x )的值域和单调递减区间． 解：(1)∵f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，∴π12≤x ≤π3.∴x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3时，f (x )的值域为[－3，2]，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，π3.2．(2018·安徽合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π.又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 3．已知a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，f (x )＝2a ·b . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)若g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，画出函数y ＝g (x )的图象，讨论y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数．解：(1)∵f (x )＝2a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为f (x )max ＝2＋1. (2)g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，利用“五点法”列表为 ：描点作图如下：函数y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数，即函数y＝g(x)的图象与直线y＝m的交点个数．由图可知，当m<1－2或m>1＋2时，无零点；当m＝1－2或m＝1＋2时，有1个零点；当1－2<m<2或2<m<1＋2时，有2个零点；当m＝2时，有3个零点．。