筛孔孔径(mm) 粒径(mm)
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描述一堆泥沙颗粒的群体特 性，需要用到什么特征值？
平均粒径: 均值(mean) 中值(median)
粒径分布 的特征值
?
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均值与分布
2011年中国大陆人均GDP为5414美元，但地区差异很大。 2011年中国内地各省人均GDP哪里最低？哪里最高？
中国各省、区人均GDP示意图
描述一堆泥沙颗粒的群体特性，只用均值还不够
粒径的分选性或标 准偏差(standard deviation) 平均粒径: 均值(mean) 中值(median)
粒径分布 的特征值
级配曲线的对称性 (偏态度skewness)
级配曲线的尖度 (peakedness) 或峰态(kurtosis)
Δp i (4) 0.48
此2列测量数 值是精确的
(1) 14 20 28 35 48
(%) (5) 99.75 99.27
Δp i* Di (6) 0.473 3.703
Δp i*ln Di (7) -0.007 -1.887 -15.202 -54.683 -25.642 -2.580 -0.209 -0.122
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
1 D50 : 中值粒径 (median size)
下图中的累积频率 曲线上，纵坐标取值 为50%时所对应的粒 径值。换句话说, 细于 该粒径和粗于该粒径 的泥沙颗粒各占50% 的重量.
[例2-3]频率直方图(频率柱状图)
介 于 上 下 两 筛 之 间 的 重 量 百 分 比
60 50 40 30 20 5.29 10 0 1.16 0.48 21.68
52.23
Percent by weight
18.39
1.48
0.1
0.05
0.83 0.58 0.41 0.29 0.20 0.14 0.1 0.07 Sieve opening (mm) 筛孔孔径（ mm)
对数尺度的概念： “φ尺度”
把粒径取以2为底的对数并乘以-1，以此作为粒径的度量： φ= −log2(D) Æ D=2-φ mm
D(mm) 1/1024 1/256 1/32 1/2 φ=-log2(D) 10 8 5 1
2 -1
32 256 1024 -5 -8 -10
这样, 粒径相差几千倍的颗粒，其φ尺度却是一个量级的，记录和 分析时就方便准确得多。同时，在计量不同粒径的颗粒个数所占的 比例时，该尺度将使概率分布曲线呈正态。
能够通过各级筛孔的沙样在总重量中所占的比例 (28页表2.4中第5列数据与粒径的关系)
100
小于某粒径的百分数(%)
小 于 粒 径 D 的 百 分 比 %
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.01 0.1 1 10
以粒径为横坐标，以‘小于粒径D的百 分比’为纵坐标，得到累积频率曲线 (cumulative frequency curve), 亦称级配曲 线或颗分曲线(grading curve)。
18.39
4.561
1.68
1.48
0.259
0.20
0.1
0.0124
0.10
0.05
0.0044
0.05
Dm =0.381 Dm g=0.366
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
上下两个筛子的孔径无限接近时，则得到粒径的概率密度 p
对于颗粒粒径分级很细的情况(上下两筛的孔径非常接近，筛 子个数很多), 频率直方图可以联成光滑曲线，称为频率曲线 (size-frequency distribution curve)。也就是粒径的概率密度分布。
颗粒概率密度 (某种粒径的颗粒占多少比例) p(D)
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
超常个体的存在会导致不同size个体的数量分布呈偏态
正态：概率峰值与均值重合
人数 2人 1人 1人
如何描述泥沙颗粒群体特征
水下休止角 angle of repose 颗粒能堆成的最 陡坡度
床面上颗粒 的排列方式
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
河 流 动 力 学 概 论
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第二章 泥沙颗粒的基本性质
1. 风化过程与地表物质组成 2. 泥沙颗粒的个体特性 3. 泥沙颗粒的群体特性
风化作用阶段及其产物、土壤 、黄土和红壤的侵蚀特性
泥沙颗粒的粒径、形状、密度ρs、容重γs和比重
颗粒的粒径分布和级配曲线、粒径分布的特征值、淤积物的干容重、水下 休止角、细颗粒泥沙的物理化学性质
0.700 0.589 0.496 0.417 0.351 0.295 0.248 65 100 150 200 0.208 0.175 0.147 0.124 0.104 0.088 0.074
5.29
93.98
21.68
10.75
72.30
52.23
18.33
20.07
此列之和不 足100％，是 因为： 还有0.05%通 过了200号筛
累 计 概 率 密 度
2 Dm: 算术平均粒径 (mean size)
各粒径组平均粒 径的重量百分比的 加权平均值, 其计算 公式为：
3 Dmg: 几何平均粒径
仍然采用左式，但其 中的泥沙粒径都用对 数值，也就是对数坐 标下的平均粒径。
1 n Dm = D i ⋅ Δp i ∑ 100 i =1
50%
P
D50
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D
平均粒径的 三种定义
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
积频率曲线(常称为级配曲线)、中值粒径、几何平均粒径、算术平均粒径。
筛孔孔径 筛号 上下两筛 中径 介于上下两筛孔
小于 D 的百分 比
[例2-3] 某沙样筛分结果如表2-4所示，试求其频率直方图(常称为分组级配)、累
平 均粒径计算 算术平 均 几何平均
D (mm) (2) 1.168 0.833
Di=( D 上 D 下) 1/2 间的重量百分比 (percent ( finer) (mm) (3) 0.986
1.60m 1.70m 1.80m 2.20m
平均身高 =1.80m 个体之间百分之几十的差别,就造成了明显偏态。如果个体之 间相差百万倍, 造成的偏态可想而知。
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
各粒径组的重量百分比
(小于某粒径的沙重百分数)
Percent finer/% 100 38mm 19mm
50
Cumulative frequency graph
9.5mm 4.8mm
D50
0 4.8 9.5 19.0 38.0 D/mm
A linear scale
<4.8mm
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泥沙颗粒的群体特性 –
粒径分布(size distribution) –
9.5mm 4.8mm
0 4.8 9.5
19.0
38.0
D/mm
A linear scale
<4.8mm
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
28页表2.4中第4列 数据与粒径的关系
0.83 0.58 0.41 0.29 0.20 0.14 0.1 0.07 Sieve opening (mm)
筛孔的孔径(mm)
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
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泥沙颗粒的群体特性– 粒径分布(size distribution) – 干容重(specific weight) – 水下休止角 (angle of repose) –排列方式
各粒径组的重量百分比
频率直方图 (频率柱状图) 各 粒 径 组 的 重 量 百 分 比
60 50 Percent by weight 40 30 20 10 0 1.16 0.48 5.29 1.48 0.1 0.05 21.68 18.39 52.23