∴ x= ．
综上所述，x= ，或 x= ，或 x= ．
考点：二次函数综合题．
2．如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO=CO，BO=DO，且 ∠ ABC+∠ ADC=180°． （1）求证：四边形 ABCD 是矩形． （2）若∠ ADF：∠ FDC=3：2，DF⊥AC，求∠ BDF 的度数．
出线段 AG、GE、EC 三者之间满足的数量关系.
【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝ 3 FH；（3）EG2＝AG2+CE2．
【解析】 【分析】 （1）①由△ DOE≌ △ BOF，推出 EO＝OF，∵ OB＝OD，推出四边形 EBFD 是平行四边形， 再证明 EB＝ED 即可． ②先证明∠ ABD＝2∠ ADB，推出∠ ADB＝30°，延长即可解决问题．
（2）IH＝ 3 FH．只要证明△ IJF 是等边三角形即可．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，先证 明△ DEG≌ △ DEM，再证明△ ECM 是直角三角形即可解决问题． 【详解】 （1）①证明：如图 1 中，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
在 Rt△ BAD 中，AB= BD2 AD2 3 ， ∵ AF=AD+DF=1+2=3，在 Rt△ BAF 中，BF= AB2 AF 2 =2 3 ．
4．(1)如图①，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF⊥BD，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 BE、DF，且 BE 平分∠ ABD． ①求证：四边形 BFDE 是菱形； ②直接写出∠ EBF 的度数； (2)把(1)中菱形 BFDE 进行分离研究，如图②，点 G、I 分别在 BF、BE 边上，且 BG=BI，连 接 GD，H 为 GD 的中点，连接 FH 并延长，交 ED 于点 J，连接 IJ、IH、IF、IG.试探究线段 IH 与 FH 之间满足的关系，并说明理由； (3)把(1)中矩形 ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形 ABCD 满足 AB=AD 时，点 E 是对角 线 AC 上一点，连接 DE、EF、DF，使△ DEF 是等腰直角三角形，DF 交 AC 于点 G.请直接写
【答案】（1）证明见解析（2）2 3
【解析】 （1）∵ AF∥ BC，∴ ∠ DCB=∠ CDF，∠ FBC=∠ BFD， ∵ 点 E 为 CD 的中点，∴ DE=EC，
FBC BFD 在△ BCE 与△ FDE 中， DCB CDF ，
DE EC
∴ △ BCE≌ △ FDE，∴ DF=BC， 又∵ DF∥ BC，∴ 四边形 BCDF 为平行四边形， ∵ BD=BC，∴ 四边形 BCFD 是菱形； （2）∵ 四边形 BCFD 是菱形，∴ BD=DF=BC=2，
理由：如图 2 中，延长 BE 到 M，使得 EM＝EJ，连接 MJ．
∵ 四边形 EBFD 是菱形，∠ B＝60°，
∴ EB＝BF＝ED，DE∥ BF，
∴ ∠ JDH＝∠ FGH，
在△ DHJ 和△ GHF 中，
DHG＝GHF
DH＝GH
，
JDH＝FGH
∴ △ DHJ≌ △ GHF，
∴ DJ＝FG，JH＝HF，
∴ 分三种情况讨论：
若 AD=CD，如图 1，则凸四边形 ABCD 是正方形，∠ ABC=90°；
若 AD=AC，如图 2，则 AB=AC=BC，△ ABC 是等边三角形，∠ ABC=60°；
若 AC=DC，如图 3，则可求∠ ABC=150°.
考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性 质；5.分类思想的应用.
∴ △ DEG≌ △ DEM， ∴ GE＝EM， ∵ ∠ DCM＝∠ DAG＝∠ ACD＝45°，AG＝CM， ∴ ∠ ECM＝90° ∴ EC2+CM2＝EM2， ∵ EG＝EM，AG＝CM， ∴ GE2＝AG2+CE2． 【点睛】 考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思考问题.
∵ ∠ FAD+∠ DEF＝90°， ∴ AFED 四点共圆， ∴ ∠ EDF＝∠ DAE＝45°，∠ ADC＝90°， ∴ ∠ ADF+∠ EDC＝45°， ∵ ∠ ADF＝∠ CDM， ∴ ∠ CDM+∠ CDE＝45°＝∠ EDG， 在△ DEM 和△ DEG 中，
DE＝DE EDG＝EDM ， DG＝DM
②∵ BE 平分∠ ABD，
∴ ∠ ABE＝∠ EBD，
∵ EB＝ED，
∴ ∠ EBD＝∠ EDB，
∴ ∠ ABD＝2∠ ADB， ∵ ∠ ABD+∠ ADB＝90°， ∴ ∠ ADB＝30°，∠ ABD＝60°， ∴ ∠ ABE＝∠ EBO＝∠ OBF＝30°， ∴ ∠ EBF＝60°．
（2）结论：IH＝ 3 FH．
∴ △ CQP∽ △ CBA， ∴
∴
解得：QP= x，
∴ PM=3﹣ x， 由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3）， P 点坐标为（x，3﹣ x）． （2）设△ NPC 的面积为 S，在△ NPC 中，NC=4﹣x， NC 边上的高为 ，其中，0≤x≤4．
∴ S= （4﹣x）× x= （﹣x2+4x）
=﹣ （x﹣2）2+ ．
∴ S 的最大值为 ，此时 x=2． （3）延长 MP 交 CB 于 Q，则有 PQ⊥BC． ①若 NP=CP， ∵ PQ⊥BC， ∴ NQ=CQ=x． ∴ 3x=4， ∴ x= ．
②若 CP=CN，则 CN=4﹣x，PQ=x，CP= x，4﹣x= x，
∴ x= ； ③若 CN=NP，则 CN=4﹣x． ∵ PQ= x，NQ=4﹣2x， ∵ 在 Rt△ PNQ 中，PN2=NQ2+PQ2， ∴ （4﹣x）2=（4﹣2x）2+（ x）2，
∴ EJ＝BG＝EM＝BI，
∴ BE＝IM＝BF，
∵ ∠ MEJ＝∠ B＝60°，
∴ △ MEJ 是等边三角形，
∴ MJ＝EM＝NI，∠ M＝∠ B＝60°
在△ BIF 和△ MJI 中，
BI＝MJ B＝M ， BF＝IM
∴ △ BIF≌ △ MJI，
∴ IJ＝IF，∠ BFI＝∠ MIJ，∵ HJ＝HF，
【答案】（1）P 点坐标为（x，3﹣ x）．
（2）S 的最大值为 ，此时 x=2．
（3）x= ，或 x= ，或 x= ． 【解析】 试题分析：（1）求 P 点的坐标，也就是求 OM 和 PM 的长，已知了 OM 的长为 x，关键是 求出 PM 的长，方法不唯一，①可通过 PM∥ OC 得出的对应成比例线段来求； ②也可延长 MP 交 BC 于 Q，先在直角三角形 CPQ 中根据 CQ 的长和∠ ACB 的正切值求出 PQ 的长，然后根据 PM=AB﹣PQ 来求出 PM 的长．得出 OM 和 PM 的长，即可求出 P 点的 坐标． （2）可按（1）②中的方法经求出 PQ 的长，而 CN 的长可根据 CN=BC﹣BN 来求得，因此 根据三角形的面积计算公式即可得出 S，x 的函数关系式． （3）本题要分类讨论： ①当 CP=CN 时，可在直角三角形 CPQ 中，用 CQ 的长即 x 和∠ ABC 的余弦值求出 CP 的表 达式，然后联立 CN 的表达式即可求出 x 的值； ②当 CP=PN 时，那么 CQ=QN，先在直角三角形 CPQ 中求出 CQ 的长，然后根据 QN=CN﹣ CQ 求出 QN 的表达式，根据题设的等量条件即可得出 x 的值． ③当 CN=PN 时，先求出 QP 和 QN 的长，然后在直角三角形 PNQ 中，用勾股定理求出 PN 的长，联立 CN 的表达式即可求出 x 的值． 试题解析：（1）过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q， 有题意可得：PQ∥ AB，
命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰 Rt△ ABD 中，∠ BAD＝90°．若点 C 为平面上一点，AC 为凸四边形 ABCD
的和谐线，且 AB＝BC，请求出∠ ABC 的度数．
【答案】（1） C ；（2）∠ ABC 的度数为 60°或 90°或 150°.
【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.
∴ AD∥ BC，OB＝OD，
∴ ∠ EDO＝∠ FBO，
在△ DOE 和△ BOF 中，
EDO＝FBO
OD＝OB
，
EOD＝BOF
∴ △ DOE≌ △ BOF，
∴ EO＝OF，∵ OB＝OD，
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形，
∵ EF⊥BD，OB＝OD，
∴ EB＝ED，
∴ 四边形 EBFD 是菱形．
（2）根据和谐四边形定义，分 AD=CD，AD=AC，AC=DC 讨论即可.
（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个
等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选 C.
（2）∵ 等腰 Rt△ ABD 中，∠ BAD=90°，∴ AB=AD.
∵ AC 为凸四边形 ABCD 的和谐线，且 AB=BC，
【答案】(1)见解析；（2）18°. 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，求出∠ ABC=90°，根据矩形 的判定得出即可； （2）求出∠ FDC 的度数，根据三角形内角和定理求出∠ DCO，根据矩形的性质得出 OD=OC，求出∠ CDO，即可求出答案． 【详解】 （1）证明：∵ AO=CO，BO=DO ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ ABC=∠ ADC， ∵ ∠ ABC+∠ ADC=180°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形； （2）解：∵ ∠ ADC=90°，∠ ADF：∠ FDC=3：2， ∴ ∠ FDC=36°， ∵ DF⊥AC， ∴ ∠ DCO=90°﹣36°=54°， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OC=OD，