乘法公式知识点分解李锦扬整理一、知识点1：直接套用公式--- 注：(一a—b) 2= (a+b) 2 , (-a+b) 2= (a~b) 21、(1) (a-b) 2；(2) (2x-3y) 2(3) (- 2a - 5b}~(4) (2a+3b) 2(5) [ x+ (-y) ]2(6) (一x + 2y]2.(1)(2a—1)(2a+1) =. (2) (—6x~ 4y),(—6x^ + 4y) =.(3)(« —— b)2 = __________ . (4)(—x+2y)，= __________ . (5)(% + —)2 = ________2 x二、知识点2：重复套用公式(1)(x - y\x + y\x2 - y2) (2)(工 + 2)，)2(工一2)，)2(3) (X-2)(X +2)(X2+4)(X44-16)(4).某同学在计算3(4 + l)(42 +1)时，把3写成4T后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4 +1)(42 +1) = (4 -1)(4 +1)(42 +1) = (42 -1)(42 +1) = 162 -1 = 255 .请借鉴该同学的经验，计算：(1+?)(1+})(1+9)(1+}) + $?・三、知识点3：三项1.若(工一)，+ 1)(尤一)"1) = 3,贝^\x-y=.2.(a-^-b-c)23. (x-2y-3z)24.(a+2b-3) (a - 2b+3)；5. (a + 3b-c)(a-3b-c)四、知识点4：完全四公式1.已知实数a、b满足ab=l, a+b=3.(1)求代数式aM?的值；(2)求a・b的值.(3)求代数式a2f2的值；(4)求a4-b4的值.(5)求a'+b"的值. (6) |x - y |2.已知(a + bf = 7, (a 一切2 = 4,求a? +胪和泌的值3.己知a+b=4, a-b=3,则a2 - b2= ( ) A. 4 B. 3 C. 12 D. 14.若(x + 2y)2=(x-2y)2 + A 成立，则A=5.已知(x+y)2=13, (x-y)2=l,求个，*y2 ^x4+ / 的值。
6.已知：(a-b)七4, ab=—,贝】J (a+b) 2= .27.己知a - b=l, a2+b2=25,则a+b 的值为.8.已知x+y=7且xy=12,则当xVy时，—-—的值等于.x y9.若JV—y = 2,疽+),2=4,则/)i6 +),2oi6 =.五、知识点5： m+—m1.已知：工+上=2,那么亍+〈_ = X X3._____________________________ 若m2 - 5m+1 =0,则竖■= _______________ . m 2.若m为正实数，且m-l=3,则n?-皂广m in24.已知2n+2「n=k （n为正整数），贝0 4,4-n=.（用含k的代数式表示）六、知识点6：简便运算1. 10222.3. 88x924.5 . 20152-4030 X 2016+201626、20112・ 2010X20120.6252+1.25x0.375 4-0.37529x11x101x10001(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) ... (22n+l) +1七、知识点7：配方与最值1.已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（）A. 2B. ±2C. - 6D. ±62.代数式4*2 + kxy + *2是关于*,夕的一个完全平方式，则左二3.若*2 一6x +历是完全平方式，则BF4.将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方.则添加单项式的方法共有多少种？清写出所有的式子及演示过程.5.将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：6.己知疽+/?2_6白_8/? + 25 = 0,求3a + 4b的值.7.求代数式x2+2x+/-4y + 9的最小值.8.无论寻y取何值时，j+y2_2x + i2)，+ 38的值是()A.正数B.负数C.零，D.非负数9.若ZkABC的三条边b、c满足等式疽+屏+C2=6Q +80+10C —50,判断ZXABC的形状10.________________________________________________ 己知a - b=b - c=_£ a2+b2+c2=l,则ab+bc+ca 的值等于_____________________________________511.阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2= (a±b) 2.例如：(x-l) 2+3、(x-2) 2+2X> (lx-2) 2+^-x2是X2-2X+4的三种不同形式的配方(即〃余2 4项〃分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x2 - 4x+2三种不同形式的配方；(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式)；(3)已知a2+b2+c2 - ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.12.先阅读理解下而的例题，再按要求解答下列四个问题：例题：求代数式y2+4y + 8的最小值.解：•.・y2 +4y + 8 = / +4y+ 4 + 4 = (y+ 2尸+4'•* (y + 2)2 N 0 (y + 2)2 +424 y2 + 4y + 8 的最小值是4.⑴4X2-10X+()=( ) 2(2)求代数式m2 +2m + 4的最小值；(2分)⑶试证明：代数式/+屏_6。
+ 4。
+ 14的值总是正数.(2分)(4)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成.如图，设AB=x (m),请问：当X取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？(2分)解：八、知识点8：数形结合1.如图所示的图形面积由以下哪个公式表示( )A.a2—b1=a Ca—b) +b (a—b)B.(a—b) ~=a'—2沥+/JC.(Q+8)2=a'-\-2ab-\rb1D.a1—b2=a Ca+b) ~b Ca+b)2.如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(ab >b),再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形(阴影部分的面积)，验证了一个等式是( )A. a2 - b2= (a+b) (a - b)B. (a+b) 2=a2+2ab+b2C. (a - b) 2=a2 - 2ab+b2D. (a+2b) (a - b) =a2+ab - 2b23.(2002・泉州)如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD,则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：.4.图中阴影部分面积等于()A.疽 +屏B.a2-b2C.abD. 2ab5.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为6..如图，在边长为。
的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(o>b),把剩下的部分拼成一个梯形, 分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了一个什么公式？为什么？ma a2.请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2)： 1 11 1 3 1 4 11 3 14 14. 观察下列等式： 1X 32X 5+4=72=(12+4X 1+2)2X 52X 7+4=232=(32+4 X 3+2)22X 42X 6+4=142=(22+4X 2+2)24X 62X 8+4=342=(42+4X 4+2)2九、知识点9：混合运算1. 3(/77 + 1)2 - 5(/〃 + 1淑-1) + 2(/77 - 1)29 12. 化简求值(2x -3y)" - (2x + y)(2x - y),其中了=一一,y = -2 . 63. 解不等式(1-3工)2+(2工-1)2>13(尤-1)(工+1) .4. (2a —3b) (2a+3b) — (2a —3b) 2十、知识点10：压轴提高1.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数〃(如3=22 - I 2, 16=5? -32).已知按从小到大顺序构成如下列：3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25,....则第 2013 个“智慧数〃是.. 15—i)* =a —b(a-b)3-&(a -矿=/ -4日易-6/不一8(2)根据前面各式的规律，则(a+b) 63. 若mi ，m2，...m2oi5是从0，1, 2这三个数中取值的一列数， 若 mi+m2+...+m2oi5=1525,(mi - 1) 2+ (m2 - 1)、..+ (m2oi5 ~ 1)2=1510,则在mi ，m2，...012015中，取值为2的个数为・(1) 根据你发现的规律，12x142x16+4是哪一个正整数的平方; ⑵靖把n(n+2)2(n+4)+4写成一个整数的平方的形式.5.(规律探究题)已知混1,计算(1+x) (1 —x) =1 —x2, (1 —x) (1+x+x2) =1 —x3, (1 —X)( 1+x+x2+x3) =1 —X4.(1)观察以上各式并猜想：(1—x) (l+x+x2+...+x n) =. (n为正整数)(2)根据你的猜想计算：%1( 1-2) ( 1+2+22+23+24+25) =.②2+22+2A...+2』(n 为正整数).③(X—1) (x"+x98+x97+... +x2+x+l) =.(3)通过以上规律请你进行下面的探索：①(a-b) (a+b) =.%1(a—b) (a2+ab+b2) =.③(a—b) (a?+a2b+ab2+b3) =.6.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为〃神秘数〃.如：4=22- 02, 12=42 - 22, 20=62 - 42,因此4, 12, 20 都是"神秘数〃（1） 28和2012这两个数是〃神秘数〃吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4 的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？7. 图①是一个长为2a,宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 ②的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积： 方法1： ； 方法2： ____ ；(2) 根据(1)的结果，请你写出(a+b) 2、(a ・b) 2、ab 之间的等量关系是 ________ (3) 根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：a+b", a-b=Ji 求ab 的值.8. 如图，四边形ABCD 是正方形，F 是对角线8。