专题4.6 因式分解-完全平方公式（专项练习）一、单选题1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）下列各因式分解正确的是（ ） A ．22(2)(2)(2)=x x x -+--+B ．2221(1)x x x +-=-C ．22441(21)x x x -+=-D ．24=2(2)(2)x x x x -+-2．（2019·海口市金盘实验学校八年级期中）已知x 2+kx +9可以用完全平方公式进行因式分解，则k 的值为（ ）A ．3B ．±3C ．6D ．±63．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）下列各式分解因式正确的是（ ） A ．241(41)(41)x x x -=+- B ．211(1)a a a a a-+=-+ C ．121684342a b a b -+=-+() D ．221(1)422x x x -+=- 4．（2021·北京朝阳区·八年级期末）下列因式分解变形正确的是（ ）A ．22242(2)a a a a -=-B ．2221(1)a a a -+=-C ．24(2)(2)a a a -+=+-D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．（2020·上海宝山区·七年级期末）下列多项式中，完全平方式是（ ） A ．22a ab b ++B ．239a a -+C ．214a a -+D ．21124a a ++ 6．（2020·福建泉州市·泉州七中八年级期中）已知2x m mn =-，()y n m n =-，则x y -的值是（ ）A ．实数B ．正实数C ．负实数D ．非负实数 7．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）下列各式可以用完全平方公式因式分解的是( )A ．2224x xy y -+B ．222a ab b --C ．2144m m -+ D ．296x x -+8．（2020·乌兰察布市·内蒙古凉城县宏远中学八年级期中）下列各式能用完全平方公式分解因式的有（ ）①2244x xy y --；①214a a ---；①2244n m mn +-；①2224a ab b -+；①289x x -+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．（2021·河南漯河市·八年级期末）已知a ，b ，c 是①ABC 的三边长，且满足222()a c b a c b +=+-，则此三角形是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定 10．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学八年级月考）关于x y 、的多项式2245815x xy y y -+++的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．（2020·全国七年级单元测试）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（） ①2m 4-+①22x y --①22x y 1-①()()22m a m a --+①222x 8y -①22x 2xy y ---①229a b 3ab 1-+A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个12．（2020·湖南怀化市·七年级期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．2441x x -+ B ．2631x x ++ C ．2242x xy y ++ D ．29181x x ++ 13．（2020·辽宁沈阳市·八年级期末）分解因式：4﹣12（a ﹣b ）+9（a ﹣b ）2＝（ ） A ．（2+3a ﹣3b ）2 B ．（2﹣3a ﹣3b ）2 C ．（2+3a+3b ）2 D ．（2﹣3a+3b ）2 14．（2020·全国八年级课时练习）若多项式x 2﹣3（m ﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m 的值为（ ）A ．6或﹣2B ．﹣2C ．6D ．﹣6或2 15．（2020·安徽合肥市·七年级期末）若a 、b 为实数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab +=（ ）A ．8B ．-8C ．-16D ．16二、填空题16．（2021·山东淄博市·八年级期末）分解因式：269x x -+=______．17．（2020·y 2﹣4y +4＝0，则x ＝_____，y ＝_____．18．（2021·全国八年级）设a b 2-=-，求22a b ab 2+-的值________． 19．（2020·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级月考）下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程解：设24x x y -=，原式(2)(6)4y y =+++ （第一步）2816y y =++ （第二步）2(4)y =+ （第三步）()2244x x =-+ （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的________（填选项）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后，________；（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果___________．20．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知2a b -=，3b c +=，222a b c ab bc ca ++-++=______．21．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）分解因式：()()244x y x y ++++=_____________．22．（2020·定兴县第四中学七年级期末）体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：甲班：全班同学“引体向上”总次数为2 n ；乙班：全班同学“引体向上”总次数为 50625n -．（注：两班人数均超过30人） 请比较一下两班学生“引体向上”总次数，__________班的次数多，多__________次． 23．（2020·山东济南市·八年级期中）利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．24．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）212x x ++________ =（x +____）2； 25．（2020·四川巴中市·七年级期末）已知为等腰三角形ABC ，其中两边,a b 满足，244|3|0a a b -++-=，则ABC ∆的周长为_______________________26．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知x ﹣2，则代数式（x ＋1）2﹣6（x ＋1）＋9的值为_____．27．（2018·全国八年级课时练习）因式分解:214y y ++=______ 28．（2020·全国七年级课时练习）因式分解:225101a a -+=______________29．（2020·海安市海陵中学八年级月考）已知222246140x y z x y z ++-+-+=， 则()2002x y z --=_______．三、解答题30．（2021·全国八年级）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：22221111112411()()2422x x x x ++=++-+ 21125()24x =+- 115115()()2222x x =+++- (8)(3)x x =++根据以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将2627x x --化成2()x m n ++的形式分解因式．（2）求证：x ，y 取任何实数时，多项式224615x y x y +--+的值总为正数．31．（2021·广东肇庆市·八年级期末）a 、b 、c 是ABC 的三边，且有2241029a b a b +=+-（1）求a 、b 的值（2）若c 为整数，求c 的值（3）若ABC 是等腰三角形，求这个三角形的周长32．（2020·山东烟台市·八年级期中）（阅读材料）下面是某同学对多项式（x 2−4x+2）（x 2−4x+6）+4进行因式分解的过程．设x 2−4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y 2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x 2−4x+4）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底? ___（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（a 2−2a ）（a 2−2a+2）+1进行因式分解．参考答案1．C【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【详解】解：A 、222(2)()(242)x x x x -+-=-+-=，故不符合题意；B 、221x x +-不能分解，故不符合题意；C 、22441(21)x x x -+=-，故符合题意；D 、24(4)x x x x -=-，故不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了分解因式，关键在于是否准确运用公式，还要注意分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．2．D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值．【详解】解：①x 2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，①k=±6，故选：D ．【点拨】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．C【分析】根据因式分解的方法可直接进行排除选项．【详解】A 、()()2412121x x x -=+-，故错误； B 、由因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，故该选项错误；C 、()121684342a b a b -+=-+，故正确；D 、221124x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，①2211422x x x ⎛⎫-+≠- ⎪⎝⎭，故错误； 故选C ．【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．4．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A 错误；根据完全平方公式可得B 正确；根据平方差公式可得C 错误；根据十字相乘法可判断D 错误．【详解】A 、2242(2)a a a a -=-，故此选项错误；B 、2221(1)a a a -+=-，故此选项正确；C 、24(2)(2)a a a -+=+-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)a a a a --=-，故此选项错误．故选：B【点拨】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．C【分析】根据完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±，逐一判断即可．【详解】解：A 、22a ab b ++不符合完全平方式的特征，故不符合题意；B 、239a a -+不符合完全平方式的特征，故不符合题意；C 、214a a -+=212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故本选项符合题意；D 、21124a a ++不符合完全平方式的特征，故不符合题意． 故选C ．【点拨】此题考查的是完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是解题关键．6．D【分析】将两个代数式相减，再利用完全平方公式进行因式分解判断即可．【详解】2x m mn =-，()y n m n =-，① ()()2222=2=x y m mn n m n m mn n m n ----=-+-≥0，故选：D ．【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式公式是关键．7．D【分析】由完全平方公式：()2222=a ab b a b ±+±的特点逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：由()222224=22,x xy y x x y y -+-+不符合公式特点，故A 错误； 222a ab b --也不符合公式特点，故B 错误；()2221114=22,422m m m m ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭不符合公式特点，故C 错误； ()222296=3233,x x x x x -⨯+=--+符合公式特点，故D 正确；故选D ．【点拨】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．8．B【分析】完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2-2ab+b2，根据以上式子判断即可．【详解】解：①4x2-4xy-y2不是完全平方式，①①错误；①221=(1)42a aa----+是完全平方式，①①正确；①2244nm mn+-是完全平方式，①①正确；①2224a ab b-+不是完全平方式，①①错误；①x2-8x+9不是完全平方式，①①错误；故选：B．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．9．A【分析】先移项，将等式右边化为0，再结合完全平方公式及平方数的非负性解题即可．【详解】222()a cb ac b+=+-2222+220+a cb b ab bc∴+--=22()()0+a b b c∴--=a b c==∴ABC∴是等边三角形，故选：A．【点拨】本题考查因式分解的应用、等边三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．A【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可．【详解】解：原式＝2245815x xy y y -+++ 222=44+816-1x xy y y y -+++()()22=2+4-1x y y -+①()220x y -≥，()2+40y ≥，①原式≥－1，①原式的最小值为－1，故选A ．【点拨】本题考查完全平方公式的变形，以及平方的非负性，灵活运用公式是关键．11．B【分析】利用完全平方公式及平方差公式的特征判断即可．【详解】解：（1）可用平方差公式分解为()()22m m -+；（2）不能用平方差公式分解；（3）可用平方差公式分解为()()11xy xy +-；（4）可用平方差公式分解为﹣4am ；（5）可用平方差公式分解为()()222x y x y +-；（6）可用完全平方公式分解为()2x y -+ ；（7）不能用完全平方公式分解；能运用公式法分解因式的有5个，故选B ．【点拨】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解本题的关键． 12．A【分析】完全平方公式是指：()222b 2ab a a b ±=±+，根据公式即可得出答案．【详解】解：()2244x 121x x -+=-．故选A ．【点拨】本题主要考查的完全平方公式，属于基础题型．理解公式是解决这个问题的关键． 13．D【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式()223a b =--⎡⎤⎣⎦ ()2233a b =-+．故选：D ．【点拨】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14．A【分析】根据完全平方公式即可求解．【详解】①多项式x 2﹣3（m ﹣2）+36能用完全平方公式分解因式，①﹣3（m ﹣2）＝±12．①m ＝6或﹣2，故选：A ．【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知完全平方公式的特点．15．C【分析】先由2222440a ab b a -+++=化为两个完全平方数和的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0进行解答．【详解】解；2222440a ab b a -+++=，即2222440a ab b a a -++++=，22()(2)0a b a ∴-++=，故0a b -=，20a +=，解得：2a =-，2b =-．故22()16a b ab ab a b +=+=-．故选：C ．【点拨】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是掌握几个非负数相加等于0，各个非负数都为0．16．()23x -【分析】利用完全平方公式分解即可【详解】 ()22693x x x -+=-故答案为：()23x -.【点拨】本题考查因式分解问题，掌握因式分解的方法，会根据具体的内容选用公式法进行因式分解是解题关键.17．2 2【分析】根据算术平方根和偶次乘方的非负性得出x 、y 的值即可．【详解】2440y y -+=，2(2)0y -=，①x ﹣y ＝0，y ﹣2＝0，解得x ＝2，y ＝2，故答案为：2，2．【点拨】本题考查非负数的性质和完全平方式．了解两个非负数相加等于0，则这两个非负数即为0是解答本题的关键．18．2【分析】根据公式法对原式进行因式分解，再整体代入即可计算．【详解】 原式2222()22a b ab a b +--==. ① 2a b -=-，① 原式2(2)22-==． 故答案为：2．【点拨】本题考查公式法进行因式分解，灵活运用分解方法是解题关键．19．C 否 ()42x -【分析】（1）根据两数和的完全平方公式即可得；（2）根据两数差的完全平方公式即可得．【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C ；（2）否，最后结果求解如下：原式()2244x x =-+，()222x ⎡⎤=-⎣⎦， ()42x =-，故答案为：否，()42x -．【点拨】本题考查了利用换元法和完全平方公式进行因式分解，熟记完全平方公式是解题关键． 20．19【分析】先对原式配成完全平方的形式，再结合条件代入计算即可．【详解】222a b c ab bc ca ++-++()2221=2222222a b c ab bc ca ++-++ ()()()22222212=222a b a ac a c b bc b c ⎡⎤+++++++⎣-⎦ ()()()22212a b a c b c ⎡⎤=-++++⎣⎦ 2a b -=，3b c +=，5a c ∴+=，∴原式()2221235192=++=； 故答案为：19．【点拨】本题考查了用因式分解的方式将式子配成完全平方式，进而代入求值，能够将题中的式子进行变形成含有条件的形式是解决问题的关键．21．()22x y ++【分析】根据完全平方公式可直接进行求解．【详解】解：()()()22442x y x y x y ++++=++；故答案为()22x y ++．【点拨】本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． 22．甲 2(25)n -（或250625n n -+）【分析】利用作差法比较2n 与50625n -的大小关系即可得到答案．【详解】解：由()()222506255062525,n n n n n --=-+=- n ＞30,()225n ∴-＞0，2n ∴＞50625,n -所以甲班的次数多，多2(25)n -次． 故答案为：甲，2(25)n -．【点拨】本题考查的是作差比较代数式的大小，同时考查了完全平方式的非负性，利用完全平方公式分解因式，掌握以上知识是解题的关键．23．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点拨：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．24．116 14【分析】对等式左边根据完全平方和公式进行配对填空，等式右边直接根据完全平方和公式填空．【详解】 解：等式左边根据完全平方和公式常数项应为2112216⎛⎫÷= ⎪⎝⎭，这样等式左边即为211216x x ++，即222111244x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以等式右边空格应填14． 故答案为：116；14． 【点拨】本题考查完全平方和公式，熟练掌握完全平方和公式的结构特征是解题关键．25．7或8【分析】先运用平方差公式将等式的前三项因式分解得2(2)|3|0a b -+-=，再根据非负性求出a ，b 的值，再代入求值即可．【详解】解：244|3|0a a b -++-=，2(2)|3|0a b ∴-+-=，2a ∴=，3b =，∴当腰为3时，等腰三角形的周长为3328++=，当腰为2时，等腰三角形的周长为3227++=．故答案为：7或8．【点拨】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．26．2【分析】利用完全平方公式得到原式＝（x ﹣2）2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：（x ＋1）2﹣6（x ＋1）＋9＝[（x ＋1）﹣3]2＝（x ﹣2）2，①x ﹣2①）2＝2，故答案为2．【点拨】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，进而利用整体代入法求代数式的值，灵活应用公式进行因式分解是关键．27．212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：2222111124222y y y y y ⎛⎫⎛⎫++=+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .28．()251a -【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：225101a a -+=()251a -. 故答案为：()251a -.29．0【分析】利用完全平方式的特点把原条件变形为222(1)(2)(3)0x y z -+++-=，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．【详解】解：因为：222246140x y z x y z ++-+-+=所以222(21)(44)(69)0x x y y z z -+++++-+=所以222(1)(2)(3)0x y z -+++-= 所以102030x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ ，解得123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以()2002x y z --=[]221(2)3(33)0---=-= 故答案为0．【点拨】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．30．（1）(3)(9)x x +-；（2）见解析．【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；（2）根据配方法把x 2+y 2-4x -6y+15变形成(x -2)2+(y -3)2+2，再根据平方的非负性，可得答案．【详解】（1）解：2627x x --269927x x =-+--2(3)36x =--(36)(36)x x =-+--(3)(9)x x =+-；（2）证明：224615x y x y +--+22(44)(69)2x x y y =-++-++22(2)(3)22x y =-+-+，故x ，y 取任何实数时，多项式224615x y x y +--+的值总为正数． 【点拨】本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b ）2配方是解题关键．31．（1）2a =，5b =；（2）4c =或5c =或6c =；（3）12【分析】（1）由a 2+b 2=4a+10b−29，可得：（a−2）2+（b−5）2=0，利用非负数的性质求解a ，b ； （2）再利用三角形三边的关系得到c 的取值范围；（3）分两种情况讨论，当a=2为腰时，当b=5为腰时，再结合三角形的三边的关系，确定三角形的三边，从而可得答案．【详解】解：（1）2241029a b a b +=+-()()224410250a a b b -++-+=()()22250a b -+-= 2a =，5b =（2）a 、b 、c 是ABC 的三边37c ∴<<又c 为整数4c ∴=，5c =，6c =（3）ABC 是等腰三角形，2a =，5b =根据三边关系可知，只有当c=5时三角形才为等腰三角形，5c ∴=25512ABC C ∴=++=△故周长为：12【点拨】本题考查的是完全平方式的变形，非负数的性质，因式分解，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．32．（1）不彻底．原式 =（x−2）4；（2）原式=（a−1）4．【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；（2）设a 2﹣2a ＝y ，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．【详解】解：（1）①（x 2﹣4x +4）2＝（x ﹣2）4，①该同学因式分解的结果不彻底．故答案为：不彻底，（x ﹣2）4．（2）设a 2﹣2a ＝y ，原式＝y （y +2）+1＝y 2+2y +1＝（y +1）2＝（a 2﹣2a +1）2＝（a ﹣1）4．【点拨】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用．。