圆周运动的向心力及其应用【要点梳理】要点一、物体做匀速圆周运动的条件要点诠释：物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。

要点二、关于向心力及其来源1、向心力要点诠释（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力.（2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。

（3）向心力的大小：22vF ma m mrrω===向向向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。

如果是匀速圆周运动则有：22222244vF ma m mr mr mr fr Tπωπ=====向向（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。

（5）关于向心力的说明：①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。

2、向心力的来源要点诠释（1）向心力不是一种特殊的力。

重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。

（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释：（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。

例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。

（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。

例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F 拉和重力mg 的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。

不难看出：F F mg cos θ=-拉向 θsin mg F =切向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的大小使得物体做变速圆周运动。

2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释：（1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是：22ωr r v m F a ===向向（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。

）换一种说法就是：在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即22ωmr rv m ma F ===向向 例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第二定律可得：22mv F F mg cos ma m r rθω=-===拉向向 切切ma mg F ==θsin（2）只适用于匀速圆周运动的计算公式：2 22222224m4mF44frTrfrTraππππ====向向因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。

要点四、圆周运动的实例1、水平面上的圆周运动要点诠释：（1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示：①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。

②力学方程：2222sin4sinsintanTlmlmlvmmamgθπθωθθ====③问题讨论：a.物体加速度与夹角θ的关系：θtanga=，向心加速度越大时，夹角θ越大。

b.角速度与夹角θ的关系：θωcoslg=，可见角速度越大时，夹角θ越大。

（2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体①向心力的来源：如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。

②静摩擦力的方向：OFlm F向O1rmg当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心；当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。

③静摩擦力的变化：当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。

2、竖直平面内的圆周运动要点诠释：（1）汽车过拱形桥在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。

对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便。

对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。

例如：汽车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。

①汽车在点位置Ⅰ最高时，对车由牛顿第二定律得：Rv m F mg N 2=- 为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即0N F > 从而解得车的速度应满足关系v gR < （如果gR v =，在不计空气阻力的情况下，车将做平抛运动） ②汽车在位置Ⅱ时有22N N v v mg F m mg sin F m R Rθ''-=⇒⋅-=径 又0N F > 解得v gR 'sin <θ（2）汽车通过圆弧型的凹处路面如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得：rmv mg F N 2=- 桥面对车的支持力rmv mg F N 2+= 可见，随着车的速度增大，路面对车的支持力变大。

要点五、圆周运动中的超重与失重1、超重与失重的判断标准要点诠释：（1）运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态，物体对水平支持面的压力大于自身的重力。

（2）运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态，物体对水平支持面的压力小于自身的重力。

2、圆周运动中的超重与失重现象要点诠释：（1）失重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最高点附近时，向心加速度竖直向下，物体对支持物的压力小于自身重力。

例如在拱形桥顶运动的汽车，由上面计算有Rv m mg F N 2-=，它对于桥面的压力小于重力。

（2）超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体对支持物的压力大于自身重力。

例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处， 桥面对车的支持力rmv mg F N 2+=大于自身重力。

要点五、关于离心现象1、外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响 要点诠释：（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。

（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r 的圆周上以速度v 运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。

（3）供需关系对物体运动的影响：外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动； 外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动2、离心现象及其运用要点诠释：（1）被利用的离心现象：洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运动从而脱离衣服，使得衣服变干。

离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。

离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。

（2）需要防止的离心现象：高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故；火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而出现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。

【典型例题】类型一、水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动例1、在水平转动的圆盘上距转动中心10cm 处放着一物块，物块随圆盘一起转动。

若物块质量，圆盘转速为s /r 1=n ，求物块与圆盘间的静摩擦力。

【思路点拨】明确向心力的来源，知道向心加速度的大小此题便得到解决。

【解析】由题意可知，物块m 做匀速圆周运动，其向心加速度224n r a n ⋅⋅=π。

对圆周运动的物块受力分析：该物块除受重力和支持力（一对平衡力）外，还受一个沿圆盘平面的摩擦力，这个摩擦力就是物块受到的合力，也就是它做匀速圆周运动的向心力。

所以有N n mr ma f n 394.0422===π,摩擦力的方向指向圆心。

【总结升华】静摩擦力提供物块做匀速圆周运动的向心力，方向沿着半径指向圆心，切不可认为与线速度的方向相反。

【变式】 (2015 广州十二中学业检测)如图所示，质量相等的a 、b 两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是2:3，圆盘绕圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止，a 、b 两物体做圆周运动的向心力之比是（ ）A ．1:1B ．3:2C ．2:3D ．9:4【答案】C【解析】两个物体是同轴转动，因此角速度相等，质量又相等，根据2F m rω=可知，向心力之比23a a b b F r F r ==。

类型二、汽车转弯问题例2、（2015 浙江高考）（多选）如图为一停车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内外半径分别为r 和2r 。

一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ＇B ＇线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ＇为圆心的半圆，OO ＇=r 。

赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max 。

选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道（所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大），则（ ）A ．选择路线①，赛车经过的路程最短B ．选择路线②，赛车的速率最小C ．选择路线③，赛车所用时间最短D ．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等【解析】由题意可知，以不打滑的最大速度通过弯道，不管选择什么路径，均是最大静摩擦力提供向心力，所以向心加速度相同，D 正确。

由公式：2v a r =可得，半径大的速率大，所以A 正确，B 错误；由前面公式可以得到：2312v v v == ，明显的轨道○3的时间比○2短，我们只需要比较○3和○1的时间即可，则他们的时间分别是：11112(2)r r r t v v v ππ=+=+ ，221222r r t v v ππ==所以：t 2＜t 1，C 正确。

【变式】铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为M 的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为r 的圆弧道转弯，受力如图所示，已知内外铁轨的倾角为α。