高考数学直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r rg2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。

3、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB =或者AB =例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。

则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。

线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k--=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆Q 为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。

221212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -=+g 212k d k +=222314112k k k k-+∴+=g 解得39k =±满足②式， 此时053x =。

题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线（I ）求椭圆的方程；l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 心率3c e a ==，2a =,则得3,1c b ==。

解：（I ）由已知椭圆C 的离从而椭圆的方程为2214x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-=12x -Q 和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+ 则211212814k x k -=+，1121414k y k =+， 即点M 的坐标为2112211284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2222222824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q12122k k k k t-∴=-+，Q 直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t=又2t >Q ，∴402t<< Q 椭圆的焦点为(3,0)43t∴=，即433t = 故当433t =时，MN 过椭圆的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =u u u r u u u r g ，2BC AC =u u u r u u u r，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。

解：(I) 2BC AC =u u u r u u u rQ ，且BC 过椭圆的中心O OC AC ∴=u u u r u u u r0AC BC =u u u r u u u r Q g 2ACO π∴∠=又 A (23,0)Q ∴点C 的坐标为(3,3)。

Q A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为： 222112x y b +=将点C (3,3)代入方程，得24b =，∴椭圆E 的方程为221124x y +=(II)Q 直线PC 与直线QC关于直线x =∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：(y k x -=，即)y kx k =+-，由22)3120y kx k x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩消y，整理得：222(13)(1)91830k x k x k k ++-+--=x =Q22918313P k k x k --∴=+即2P x =同理可得：2Q x =))P Q P Q y y kx k kx k -=-++Q＝()P Q k x x +-22P Q x x -=13P QPQ P Q y y k x x -∴==-则直线PQ 的斜率为定值13。

例题5、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。

2=，得223(1)4m k=+。

把y kx m=+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m+++-=，122631kmx xk-∴+=+，21223(1)31mx xk-=+。

22221(1)()AB k x x∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m mkk k⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k kk k++-++==++2422212121233(0)34196123696kkk k kk=+=+≠+=++⨯+++≤当且仅当2219kk=，即3k=±时等号成立。

当0k=时，AB，综上所述max2AB=。

∴当AB最大时，AOB△面积取最大值max1222S AB=⨯⨯=。

例6、设1F、2F分别是椭圆1422=+yx的左、右焦点。

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF·2PF的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

解：（Ⅰ）易知2,1,a b c===所以())12,F F，设(),P x y，则())2212,,,3PF PF x y x y x y⋅=--=+-u u u r u u u u r()2221133844xx x=+--=-因为[]2,2x∈-，故当0x=，即点P为椭圆短轴端点时，12PF PF⋅u u u r u u u u r有最小值2-当2x=±，即点P为椭圆长轴端点时，12PF PF⋅u u u r u u u u r有最大值1（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>u u u r u u u r∴12120OA OB x x y y ⋅=+>u u u r u u u r()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+ ∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<故由①、②得2k -<<2k <<例7、设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2，两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2，,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y +=（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,要使OA OB ⊥u u u r u u u r, 需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k--+=++, 所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,即263m ≥或263m ≤-,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mr k =+,222228381318m m r m k ===-++,263r =, 所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足26m ≥或26m ≤-, 而当切线的斜率不存在时切线为263x =±与椭圆22184x y +=的两个交点 为2626(,)33±或2626(,)33-±满足OA OB ⊥u u u r u u u r ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r .因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以42242423245132[1]34413441k k k k k k k ++=⋅=+++++,①0k ≠时22321||[1]1344AB k k =+++因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++, 所以2232321[1]1213344k k<+≤++,所以46||233AB <≤当且仅当22k =±时取”=”. ② 当0k =时,46||AB =③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为266(33±或66(,33-±,所以此时6||3AB =, 综上, |AB |46||233AB ≤≤: 4||[6,23]3AB ∈。