【知识点梳理】一、直线与圆锥曲线的位置关系注意：直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程（二次项系数a 不为0），但直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程，因此需分类讨论。

即：1． 一次方程，只有一个解，说明直线与双曲线相交，只有一个交点，此时直线与渐进性平行；2． 二次方程，⎪⎩⎪⎨⎧>∆=∆<∆，有两个交点（相交），有一个交点（相切）无解，没有交点00,0因此在做题过程中，若直线与双曲线①没有交点：00<∆≠且a②有一个交点：000=∆≠=且或者a a③有两个交点：00>∆≠且a此外，在设直线方程时，要注意直线斜率不存在的情况。

二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac >0。

则弦长公式为：4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=。

三、用点差法处理弦中点问题设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

【典型例题】题型一 直线与圆锥曲线的交点问题例 1 k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例2． 已知直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围。

变式1：过点P(0,1)的直线与双曲线15422=-y x 有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围。

变式2：已知曲线C ：x x y 22--=与直线l ：x+y-m=0有两个交点，则m 的取值范围是 题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题(注意0>∆的条件)例3． 已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。

例4． 直线l 在双曲线12322=-y x 上截得弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m.变式1：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆与直线280x y ++=相交于点P Q ，，且PQ =，求椭圆的方程变式2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b-=被椭圆C 截得的弦长为，且e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.题型三 运用点差法处理中点弦问题例5． 过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

例6． 直线y=x-1被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是变式1：过点P (－1,1)作直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和线段AB 的长度． 变式：椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥PF 2,,| P F 1|=34,,| P F 2|=314. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程。

例7． 中心在原点O 的椭圆122=+ny mx 与直线x+y-1=0交于P 、Q 两点，M 为PQ 中点，且22=OM K ，则nm 的值为 题型四 直线与圆锥曲线有关的最值问题例8． 若点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为 变式：点P 在抛物线2x y =上，求P 到直线x-y-2=0的最短距离。

例9． 已知P 是抛物线241x y =上的动点，F 为抛物线的焦点，定点A(12,6)，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时P 点的坐标。

例10． 若直线y=x+m 和椭圆1422=+y x 相交于A 、B 两点，当m 变化时，|AB|的最大值为（ ） A. 2 B. 554 C. 1054 D 。

1058 例11． 已知椭圆C : 2213x y +=，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 变式1：过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B 两点 ，求面积的最大值 ．变式2. 已知动点P 到定点)F 的距离与点P 到定直线l ：x =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若0EM FN =，求MN的最小值．题型五 有关轨迹问题例12．求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程。

变式1： 已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

变式2：椭圆方程为2214y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键．题型六：焦点三角形例13 双曲线ABC ,90PF F P F F 11690212122∆=∠=-求是双曲线上一点，若，且和的焦点为y x 的面积。

变式1：M 为椭圆,MF F F F )0,0(121212222α=∠>>=+为椭圆的两个焦点，和上一点，b a by a x 求21MF F ∆的面积（用α、、b a 表示）变式2：已知双曲线116922=-y x 的两个焦点为21F 、F ，点P 在双曲线上，当21PF PF ⊥时，求点P 到x 轴的距离。

【方法与技巧总结】1．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。

这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。

这样就加强了对数学各种能力的考查；2．关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法。

利用引入一个参数表示动点的坐标x 、y ，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法。

有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；3．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法；4．当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。

同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍；【巩固练习】1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△F AB 的最大面积为( ) A ．b 2 B ．ab C ．ac D ．bc2．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 33．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.81054．直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1恒有公共点，则m 的取值范围是______．5．倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是________． 6．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y ＝x ＋1与该椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |＝102，求椭圆方程． 7. 点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。

（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

8.已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。

【拓展训练】1．已知椭圆的焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)．过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |＋|F 2B |＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标.2．已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的焦点，离心率是63. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点C (－1,0)的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程．。