HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY1. DATE: 2001-9-201. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l ，地层的弹性常数ν,E 和密度ρ均为已知。

假设你在纵波到达0t 秒后惊醒。

问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区试根据Km 200=l ，GPa 20=E ，3.0=ν，36g/m 100.2⨯=ρ，s 30=t 来进行具体估算。

2. 假定体积不可压缩，位移112(，)u x x 与212(，)u x x 很小，30u ≡。

在一定区域内已知221211(1) ()u x a bx cx =-++，其中a ，b ，c 为常数，且120ε=，求212(，)u x x 。

3. 给定位移分量21123()u cx x x =+，22213()u cx x x =+，23312()u cx x x =+，此处c 为一个很小的常数。

求应变分量ij ε及旋转分量ij Q 。

4. 证明,1122i ijk jk ijk k j e Q e u ω==其中i ω为转动矢量。

5. 设位移场为22131232123()()u a x x e a x x e ax x e =-++-，其中a 为远小于1的常数。

确定在 (0，2，1)P -点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。

6. 试分析以下应变状态能否存在。

（1）2211122()k x x x ε=+，22223kx x ε=，330ε=，121232kx x x γ=，23310γγ== （2）221112()k x x ε=+，2222kx x ε=，330ε=，12122kx x γ=，23310γγ== （3）21112ax a ε=，22212ax x ε=，3312ax x ε=，120γ=，22332ax bx γ=+，223112ax bx γ=+其中，，k a b 为远小于1的常数。

2. DATE: 2001-9-171. 证明对坐标变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121cos sin sin cos x x x x αααα，33x x =，无论α为何值均有22112211εεεε+=+，21222112122211εεεεεε-=- 223213223213εεεε+=+，ij ij εε=2. 利用课堂上给出的各向同性张量表达式，推导各向同性材料的广义虎克定律。

并写为以杨氏模量E 和泊松比ν来表示的分量表达式。

写出在Voigt 记号下的6个Cauchy 关系等式。

3. 证明，对各向同性弹性体，若主应为123σσσ≥≥，则相应的主应变123εεε≥≥。

4. 证明在各向同性弹性体中，应力张量的主方向与应变张量的主方向一致。

5. 各向同性弹性体承受单向拉伸（1230，0σσσ>==），试确定只产生剪应变的截面位置，并求该截面上的正应力（取0.3v =）。

6. 试推导体积应变余能密度c v W 及畸变应变余能密度c f W 公式：211()618c v ii jj ii W K σεσ==2111()243c f ij ij ij ij ii W G σεσσσ⎡⎤''==-⎢⎥⎣⎦3. DATE: 2001-9-261. 下面应力场是否为无体力时弹性体中可能存在的应力场如果是，它们在什么条件下存在（1），，0，x y z ax by cx dy σσσ=+=+=，0xy yz zx fx gy τττ=+==；（2）222，，0，，x y z xy ax y bx cy dxy σσστ=+===0yz zx ττ==；（3）222222[()]，[()]x y a y b x y a x b y x σσ=+-=+-，22()，2，0z xy yz zx ab x y abxy στττ=+===。

其中、、、、a b c d f 及g 均为常数。

2. 设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在除上、下表面之外的全部边界上，受有均匀压力p 。

验证x y p σσ==-及0xy τ=能满足平衡微分方程、协调方程及边界条件，因而就是正确的解答。

3.应力函数一般形式kl mn jml ink ij e e ,Φ=σ和对应的Beltrami-Michell 方程()()011,,2,2=Φ-Φ∇++Φ∇ijmnmn mm kl mn jml ink e e ν导出在Maxwell 应力函数下（333222111,,X X X =Φ=Φ=Φ，其余为零），书中的，式。

考虑由面积不可压缩()02211=+εε的平行叠层组成的层合板，其层界面以3X 轴为法向，写出该层合板的约束应力表达式.4. DATE: 2001-9-281.若在域V 内应力场()x ij σ与体力()x i f 相平衡，V 的边界S 均为力边界，作用在其上有面力j ij i v t σ=，j v 为S 上的单位外法向量。

若i f ，i t 为已知，而ij σ为待求，求证问题只有在i f ，i t 满足下列条件时才有解0=+⎰⎰dS t dV f VSi i 且0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰dS t x dV f x e k S j k V j ijk2. 对各向同性弹性体，若体力为零，试证明02=∇kk ε3. 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，在铁盖上面作用均匀压力p （图5-6）。

假设铁盒与铁盖可以视为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦。

试用位移法求橡皮块中的位移、应变与应力。

图5-64. 图5-8所示矩形薄板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压。

由叠加原理求板的应务和位移。

图5-85. 一矩形截面构件受沿轴向的简单拉伸及绕x 、y 轴的弯矩作用，如图5-9所示。

不计体力。

六个应力分量为0，0z x y yz zx xy σσστττ≠=====试用平衡方程和B-M 方程求z σ的函数形式。

并利用端面边界条件()0yz zx yz zx A A A dA dA x y dA ττττ==-=⎰⎰⎰ ，，z x z x z A A A y dA P y dA M x dA M στσ===-⎰⎰⎰确定积分常数。

（A 为端部横截面面积，x 、y 轴分别为截面的对称轴。

截面对x 、y 轴的惯性矩分别为x I ，y I ，设坐标原点处无平移和转动）6. 在一半平面的边界处，作用有自平衡的面力⎪⎭⎫⎝⎛==L x t t πσsin ,021。

试说明(通过求解)该面力引起的应力场在表面以下呈指数衰减，并以及论证在这一问题上圣维南原理适用。

5. DATE: 2001-10-21. 课堂上用猜测的方法，并引用唯一性定理，得到了简单拉伸问题的位移场。

请利用已得的应变表达式和六个应变－位移关系来严格地导出这一位移场。

2. 考虑纯弯曲问题，在不变弯矩作用下柱体的轴线（即材力中所说的挠度曲线应为一段圆弧）。

而根据课堂上的推导，横向挠度()()3231,0,0,,0,0x u x u 均正比于23x ，即为抛物线。

试解释产生这一不同的原因。

考虑由端面反对称自平衡的面力分布而导致的对矩形梁弯曲问题的修正解。

求出制约该修正解衰减指数的特征方程。

6. DATE: 2001-10-91．半径为a 的圆截面杆两端作用扭矩z M 。

试写出此杆的应力函数，并求出剪应力分量，最大剪应力及位移分量。

2. 用位移法导出圆轴扭转的剪应力和扭角公式。

3. 若柱体扭转时横截面上应力为，xz yz G y G x τατα=-=，证明该柱体截面是圆。

4．考虑一个单连通域的横截面，证明在条件A in αμ22-=Φ∇ 和 C on 0=Φ应力函数Φ可唯一确定。

5．考虑一个单连通的横截面，从中切去一个由应力函数等高线所界定的单连通域。

试证明：1． 新的、双连通的横截面所对应的应力函数仍为原来的应力函数。

2． 该环形域的扭转刚度为原问题的扭转刚度与（挖去的）芯部区的扭转刚度之差。

7. DATE: 2001-10-171. （思考题）无穷长板条含半无穷长裂纹，求()33,,u z ασφ，裂尖应力强度因子。

τ2. （思考题）试推导这张表中的所有结果，并与Saint-Venant 假设下的估算结果相比较。

形状扭转刚度αμpM圆42a π椭圆2233ba b a +π正方形a41406.0a半圆429756.0a正三角形303ah (a h 23=) 等腰直角三角形4026091.0ahh abaaaaConst=Φ矩形(a>b)⎪⎭⎫ ⎝⎛b a N ab 33. 求裂纹尖端第二项所对应的平面位移3u 和剪应力32,31σσ。

论述该项对于何种边值问题8. DATE: 2001-10-20考虑无体力的平面问题，此时Airy 应力函数Φ满足双调和方程022=Φ∇∇。

1.证明对两个调和函数ω和φ(即02=∇ω和02=∇φ),可构造φω+=Φ2x 满足调和方程。

2.利用应力的Airy 应力函数表达式（无体力），构造以ω和φ表达的应力式。

3.考虑一个半平面问题，02>x ，且在边界上仅承受正应力，即10122x x ∀==σ，证明其所对应的解答可写为2x ∂∂-=φω 4.由此证明在边界仅受正应力的半平面沿边界必然有2201122===x x σσ （A ）b1x5.你认为上述导致（A ）的证明是否严格有无例外情况9. DATE: 2001-10-311. 书中设在厚壁管外套以绝对刚性的外套，使管不能发生轴向位移。

厚壁管受均匀内压力q （图7-50），试求厚壁管中的应力及位移。

图7-502. 图7-51所示薄圆环，在r a =处固定，在r b =处受均匀分布的剪力τ。

以位移法及应力函数法求圆环中的应力和位移。

图7-513.考虑无穷远处受均匀剪切τσ=xy 的无穷大平面弹性体，平面内有一半径为a 的刚性体，它与弹性体理想粘合，即a r on u u r ===,0θ，求解该问题的应力场，并确定沿孔边环向应力的最大值及位置。

若要保持该刚性体既不移动也不转动，需要在该刚性体施加力或力偶吗10. DATE: 2001-11-11习题1. 图7-53所示曲梁（二分之一圆环），其上端周向应力0()θθσ=的合力为P ，对坐标原点O 的力矩为零。

求曲梁的应力。

图7-532. 图7-54所示椭圆薄板中心有一小圆孔，其半径为a 。

板的外边界作用有均匀分布的法向拉应力p 。

试求应力集中系数。

图7-543. 在距地面深为h 处，挖一直径为d 的圆形长孔道，孔道与地面平行（图7-55）。

岩石比重为γ，弹性模量为E ，泊松比为v 。

试求孔边最大应力（绝对值）的值及发生的位置。

4. 推导以复势()z φ和()z ϕ表示的最大剪应力max τ及主应力12、σσ的表达式。