简答题：1、已知线性因果网络的差分方程为()0.8(1)()0.8(1)y n y n x n x n =-++-，试在z 平面上画出零极点的位置，并定性画出其幅频特性曲线。

2、简述采用窗函数法设计FIR 数字滤波器的设计步骤及主要公式。

3、简要叙述基2 DIT-FFT 与基2 DIF-FFT 快速算法运算流图的主要异同点。

4、基2FFT 快速算法的原理是什么？其运算次数为多少？5、在利用DFT 分析连续非周期信号的频谱时，由于需要对连续信号进行采样和截断，由此可能产生的误差的三种现象是什么？并简要说明减小或避免产生这三种现象的方法。

6、FIR 滤波器具有线性相位的条件是什么？其相位表达式是什么？7、（1）脉冲响应不变法与双线性变换法各有何特性？ （2）哪种方法适合设计IIR 数字高通滤波器？8、简述IIR 数字滤波器的基本网络结构类型以及每种网络结构的特点 9、简述巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤及主要公式。

问答题：1、已知实序列(){}{}3,2,1,0,1,1,1,2)(3,2,1,0,1,2,2,1=-===n n h n n x ，试计算： （1）4点的循环卷积； （2）7点的循环卷积；（3）画出利用FFT 计算线性卷积的实现框图。

解：解：（1）()[]2111112112()36631121211121x n h n -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⊗=*=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由于线性卷积长度7与循环卷积长度相等，结果相等，故可以计算线性卷积。

20 15 105 00 0.5 1 1.5 2 w/π 幅频特性0.8-0.8 Re[z]Im[z]1221211112211221122124422553111⨯-----（3）设()n h 的长度为N ，()n x 的长度为M ，循环卷积的总长度为L2、已知线性因果网络用下面的差分方程描述：y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)（1）求网络的系统函数H(z)及其单位脉冲响应h(n) ；（2）写出网络传输函数H(e jw )的表达式，并定性画出其幅频特性曲线。

3、设()x n 是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为()x n 的2N 点DFT ，试设计用一次N 点FFT 完成计算()X k 的高效算法。

解：首先将长度为2N 的实序列分解成两个长度为N 的短序列12()(2)(21)01()()x n x r x r r N x n x n =++≤≤-=+由两个实序列分别作为实部和虚部，重新组合成一个新的长度为N 的序列12()()()01y n x n jx n n N =+≤≤-用一次N 点的FFT 计算出新序列的()Y k12()[()][()][()]Y k FFT y n DFT x n DFT jx n ==+12()()X k jX k =+补L-N 个 零 点L 点 FFT补 L-M 个 零 点L 点 FFTL 点 IFFTx(n)* h(n)h ( n )x ( n ) (2分)(2分)(1分)()()ep op Y k Y k =+利用DFT 的共轭对称性，分别求出两个短序列的DFT1()()ep X k Y k =21()()op X k Y k j=由蝶形算法计算出原序列的DFT122122()()()01()()()kNkNX k X k W X k k N X k N X k W X k =+≤≤-+=-4、已知8点序列x(n)={1, -1, 1, -1, 2, 1, 1, 2}，（1）试利用N =4时域抽取基2FFT 流图计算8点序列的DFT 。

（要求画出运算流图，并标明每一处的数值）（2）当N 相同时，分析DIT-FFT 与DIF-FFT 运算流图的主要异同点。

（1）（4分） （4分）X 1(k )={5, -1, 1, -1}, X 2(k )={1, -2+3j, -1, -2-3j}利用上述公式，可得序列x (n )的DFT X (k )为12()()()()()kN X k X k W X k X k X N k *=+=- （1分）X (k )={6, -0.293+3.535j, 1+j, -1.707 + 3.535j, 4, -1.707-3.535j, 1-j, -0.293-3.535j}（1分） （2）答：（一）相同点： （2分）（a ）运算量相同。

（b ）运算流图都是原位计算。

（二）不同点： （2分） （a ）蝶形运算规律不同，DIT －FFT 的蝶形运算是先乘后加减，而DIF －FFT 是先加减后作乘法。

（b ）输入输出的顺序不同，DIT －FFT 算法是倒序输入，顺序输出，而DIF －FFT算法是顺序输入，倒序输出。

（三）二者的运算流图可以相互转化。

5、（1）画出N=8/N=4时域抽取法基2FFT 算法的运算流图。

（2）如果用通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要5μs ，每次复数加法需要1μs ，试计算N=8时域抽取法基2FFT 算法的运算量。

解：（1）（2）复数乘法：次1234log 22=⨯=N N（3） 复数加法：次2438log 2=⨯=N N 所以，总的运算量为：ms s s 084.0124512=⨯+⨯μμ6、设要实现的模拟低通滤波器)(s H 的指标为（按照步骤自己做一遍，答案有问题） dB kHz f dB kHz f s s p p 15,2,3,2.1≥=≤=αα （1）试确定数字滤波器)(z H 的设计指标（2）用双线性变换法，设计满足（1）中指标的Butterworth 数字低通滤波器。

采样间隔T=2s 。

（查表见附录）附表：巴特沃斯归一化模拟低通滤波器部分参数阶数(N)分母多项式1110()NN N B p pb pb p b --=++++ 的系数b 0b 1 b 2 b 3 1 1.00002 1.0000 1.41423 1.0000 2.0000 2.0000 41.00002.61313.41422.61311）确定数字滤波器的设计指标本题要求用巴特沃斯型滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤W N 0 W N1 W N2 W N3 x (0) x (4) x (2) x (6) x (1) x (5) x (3) x (7)A (0) A (1) A (2) A (3) A (4) A (5) A (6) A (7)A (0)A (7)X (0) X (1)X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)A (0) A (1) A (2) A (3) A (4) A (5) A (6) A (7)W N/4W N/4 0 W N/4 0 W N/40 W N/2 0 W N/21 W N/2 0 W N/21波器指标描述如下：radf f radf f sams s samp p ππωππω5.023.02====dB s p 15,3==αα采用双线性变换法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为： s r a d s r a d s s p p /12t a n ,/5095.02t a n =⎪⎭⎫ ⎝⎛=Ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Ωωω dB dB s p 15,3==αα（2）根据模拟滤波器的设计指标设计模拟低通滤波器： ①求滤波器阶数N 及归一化系统函数()p H a ： 5.2lg lg ≈-=spsp k N λ ，选取N=3②查表得模拟低通滤波器系统函数的归一化低通原型为： 1221)(23+++=p p p p H a③去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数()s H a 由于在p Ω处衰减是3dB ，故p Ω与c Ω恰好相等，即s rad p c /5095.0=Ω=Ω 51323.05192.00191.111)(2)(2)(1)()(2323+++=+Ω+Ω+Ω==Ω=s s s s s s p H s H cccsp a a c（3）用双线性变换法将()s H a 转换成数字滤波器系统函数()z H 321311121378.06959.01619.11)1(0495.0)()(11----+-=-+-+==--zzzz s H z H z zT s a7、设FIR 数字滤波器的系统函数为1234()10.830.8H z zzzz----=++++（1）试求该滤波器的单位取样响应()h n ； （2）判断该滤波器是否具有线性相位； （3）求出其幅度特性和相位特性； （4）画出其线性相位型结构；解：（1） ()()1123410.830.8N n n Hz h n zz z z z------===++++∑ ()()1,0.8,3,0.8,1,0,1,2,3,4h n n ==（2）由)(n h 的取值可知()5,1)(=--=N n N h n h故该FIR 滤波器具有第一类线性相位特性。

（3）设该滤波器的频率响应函数为()j H eω则 ()()()()1234222210.830.8(0.830.8)(31.6c o s 2c o s 2)N j j jng n j jj jj jjjjj He H e h neee e eee e e e e θωωωωωωωωωωωωωωωω--=--------===++++=++++=++∑所以幅度特性函数为： ()31.6c o s 2c o s2g H ωωω=++ 相位特性函数为：()122N θωωω-=-=- （4）x ( n )y ( n )10.831 -z 1- z 1 -z 1 - z8、已知模拟滤波器的系统函数为)1)(4(2)(++=s s s H（1）分别利用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器，求出相应的)(1z H 和)(2z H ，抽样间隔T=1s 。

（2）简述脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点。

解：（1）由部分分式展开，可得 )4(3/2)1(3/2)(+-+=s s s H （2分）脉冲响应不变法：1411113/213/2)(-------=zeze z H （4分）双线性变换法：112211122()()1(1)9119zS T z H z H s z z---=+--=+=-（2分）（2）脉冲响应不变法：主要优点是模拟频率与数字频率之间的关系是线性的， （1分）其主要缺点是存在频谱混叠； （1分）双线性变换法： 主要优点是避免了频谱混叠， （1分）其缺点是模拟频率与数字频率之间的关系是非线性的， （1分）且在边界频率处容易产生畸变。

（1分 9、试用矩形窗设计一个线性相位FIR 数字低通滤波器，其频率响应逼近⎩⎨⎧≤=-其他)(c j jwd e eH ωωωα（1）求出长度N=5，窗口为矩形窗的线性相位FIR 数字滤波器h(n)的表达式； （2）画出该数字滤波器H(z)的线性相位网络结构（不必计算h(n)各点的数值）； （3）若设计的数字滤波器阻带衰减达不到指标，应采取何种措施？ （4）对于此低通数字滤波器可否取N=6？解：（1）由IDFT 可得理想低通滤波器的单位取样响应为())()(sin 21)(21)(απαωωπωπωωαωωππω--===⎰⎰---n n d ed eeHn h c n j nj j dd cc(2分)()55()()sin ()()()sin (2)04(2)d c c h n h n R n n R n n n n n ωαπαωπ=⋅-=⋅--=≤≤- 为了得到线性相位，要求221=-=N α（2）（3）应选择矩形窗以外的窗函数进行设计。