基于库伊克模型的地面沉降预测分析
甄宗坤;蔡东健
【摘要】针对地面沉降与地下水水位变化的内在关系，考虑地面沉降受到自身变化规律的影响，建立基于库伊克变换的地面沉降预测模型，应用该模型对某地区地面沉降统计数据进行模拟预测，有效实现该地区地面沉降与地下水水位以及本身之间的定量模拟，并探讨模型的拟合效果和预测精度。
结果表明库伊克模型拟合效果较好，预测精度较高，能较好地反映研究区域的地面沉降变形趋势。
%According to the relationship between land subsidence and groundwater level ,and taking into account the impact from land subsidence itself ,this paper prosents a prediction model of land subsidence based on Koyck transform .The statistical data of a certain area are simulated and predicted ,on which the quantitative simulation of the relationship between land subsidence and groundwater level ,and itself is implemented efficiently . T he fitting effect and prediction accuracy of the model are discussed too .T he results show the Koyck model is well fitted and has higher prediction accuracy ,which can reflect well the trend of land subsidence .
【期刊名称】《测绘工程》
【年(卷),期】2015(000)011
【总页数】3页(P48-50)
【关键词】库伊克模型;地面沉降;沉降预测;地下水水位
【作者】甄宗坤;蔡东健
【作者单位】苏州工业园区测绘地理信息有限公司，江苏苏州215000;苏州工业园区测绘地理信息有限公司，江苏苏州215000
【正文语种】中文
【中图分类】TU196
地面沉降是指区域性地面高程下降的一种环境地质变化［1－2］，从地面沉降的综合分析来看，过度开采地下水是影响其形成与发展的重要因素［3－5］，在地下水水位持续降低的情况下，地面呈现不断下沉的趋势，沉降范围也随之扩大，也就是说，地面沉降的幅度和沉降速率与地下水水位下降表现为明显的同步、正比关系［6－8］。
另外，地面沉降变化态势延续到本期，从而使得当期地面沉降量受到自身影响［9－10］。
因此，针对地面沉降与地下水水位变化的内在关系，且考虑到地面沉降受到自身变化规律的影响，本文建立了基于库伊克变换的地面沉降预测模型，并对预测模型进行评价和分析。
1 库伊克模型的建立
对于无限分布滞后变量模型：
式中：Y t为因变量，Xt－s（s＝0，1，2，…，t）为滞后自变量，μt为随机扰动项，α为常数，βs（s＝0，1，2，…，t）为模型参数。
库伊克提出两个先验约束：模型参数的符号都是相同的；模型参数的衰减服从某种公比小于1的几何级数
式中：β0为常数，λ（0＜λ＜1）为分布滞后衰减率，λ的大小决定了滞后衰减的速度，其值越小，衰减速度越快。
以上两个先验约束对于地面沉降与地下水水位的关系是合理的，各期地下水水位对当前地面沉降的影响是正的，且这种影响随着滞后时间的增大随之变小
将式（2）代入式（1）并整理各项，模型变为
显然，模型仍然无法直接估计，可对其进行库伊克变换，减小模型参数的个数。
将式（3）滞后一期，模型变为
对式（4）两边同乘以λ并与式（3）相减，整理各项得
整理式（5）有
令α＊＝（1－λ）α，＝β0，＝λ，＝μtλμt－1，则库伊克模型变为
通过上述库伊克变换，无限分布滞后模型被简化为只有当期自变量X t和滞后一期的因变量Y t－1自回归模型。
模型只需估计α＊，， 3个参数，极大地简化了模型，且最大程度减小参数估计中自由度的损失。
同时，Y t－1与X t的线性相关程度小于X的各滞后值之间的相关程度，从而在很大程度上削弱了多重共线性。
2 实例计算及模型评价
2．1 实例计算
本文将采用库伊克模型对地面沉降与地下水水位以及本身的关系进行定量模拟，现收集到某地区1980～2002年连续23年内的地面累计沉降值及地下水水位统计数据，如图1所示。
图1 某地区地面累计沉降值及地下水水位统计数据
分别用Y和X两个序列表示地面沉降量与地下水水位，为了保证模型参数是一致估计无偏量，对建立的库伊克模型进行相关性检验。
假定模型Y t＝α（1－λ）＋β0 X t＋λY t－1＋，（＝μtλμt－1）；随机扰动项μt满足古典假设，即
根据以上假设则有
由此可知，库伊克模型Y t＝α＊＋ Xt＋ Y t－1＋μ＊t中随机变量Y t－1与μ＊t 相关，因此，不能直接采用最小二乘法对库伊克模型进行参数估计，在估计模型前需解决两个问题：诊断随机扰动项μ＊t是否存在自相关；设法消除Y t－1与μ＊t的相关性。
采用L M统计量检验库伊克模型随机扰动项的自相关性，预测模型L M统计量
其中T为样本容量，R 2为决定系数。
给定显著水平α＝0．05，查卡方分布表得
其中，p为滞后的期数。
根据L M检验的判别规则可知模型的随机扰动项不存在自相关性。
采用工具变量法来消除变量Y t－1与扰动项μ＊t之间的相关性，选用替代变量Y t－1进行估计，库伊克模型变为
式中：是的滞后值，是地面沉降量Y对地下水水位X的回归值，即
根据最小信息准则以及地面沉降滞后理论，滞后期q＝2。
对Y和X两个序列建立库伊克模型，预测模型：
式中：Y t为第t年的地面沉降值，Xt为第t年的地下水水位，是的滞后值，且
2．2 模型评价
1）回归方程分析。
α＊＝8．499为样本回归方程的截距，表示自发的地面沉降量，＝0．493为地下水水位对地面沉降的影响程度，＝0．320为地面沉降受到自身
趋势的影响程度，可以看出，α＊，的符号和大小基本符合该地区实际情况
2）拟合优度检验。
采用决定系数R 2来评价回归方程对地下水水位和地面沉降量的模拟精度，统计模拟误差，得到决定系数R 2＝0．988 6，说明总离差平方的98．86%能被回归方程解释，预测模型拟合效果良好。
同时，库伊克预测模型计
算所得地面沉降值与实际值相比，所得的误差大部分在±3%以下，进一步说明预
测模型能较好拟合样本的观测值。
图2为模型预测值与实际值的对比图。
图2 模型预测值与实测值的对比图
3）预测精度分析。
对库伊克模型进行预测分析，分析结果如表1所示，均方根误差RMSE和平均绝对误差MAE作为相对指标来评价相同序列在不同模型中的预测结果，误差越小，该模型预测能力强，本文库伊克模型均方根误差RMSE和平均
绝对误差MAE均较小，说明模型预测效果较高。
计量学规定平均绝对百分误差MAPE取值在0～5之间，则预测精度较高，希尔不等式系数TIC介于0～1之间，且数值越小预测精度越高，模型平均绝对百分误差MAPE＝3．417，希尔不等式
系数TIC＝0．016，进一步说明模型预测精度较高，预测值比较接近实际值。
表1 预测分析结果评价指标计算值均方根误差（RMSE）2．861平均绝对误差（MAE） 2．365平均绝对百分比误差（MAPE） 3．417希尔不等系数（TIC）0．016
3 结束语
针对地面沉降与地下水水位变化的内在关系，且考虑到地面沉降受到自身变化规律的影响，建立基于库伊克变换的地面沉降预测模型，应用该模型对某地区地面沉降与地下水水位统计数据进行模拟分析，有效实现了该地区地面沉降与地下水水位以及本身之间的定量模拟，并探讨模型的拟合效果和预测精度。
结果表明，库伊克模型能较好的拟合样本的观测值，预测精度较高，能较好的反映研究区域的地面沉降变形趋势。
因此，库伊克模型可以推广到地面沉降领域中去。
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