第一章 绪论一.填空题1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y=为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***rx x e x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。

3、 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取1.73≈（三位有效数字），则-211.73 10 2≤⨯。

4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。

5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。

6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。

9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()()()=V V VV L W H L W HWH L HL W LW H ∂∂∂∆≈∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()r V V V∆∆=而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()()()325*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.501.1*1025000r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=≤=2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()=b s ss a b a ba ab ∂∂∆≈∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()r s s s∆∆=而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()() 80*0.1110*0.119.019.00.0021598800r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。

3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差'1**1****(),(),()()()0.02()n n n n n r r n f x x f x nx x x n x x x x xn n nx xεεεε--===-≈--=≈==解：由于故故4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R 允许的相对误差限是多少？解：令()343V f R R π==，根据一元函数相对误差估计公式，得()()()()()()'23431%43R R f R R V R R R f R R πεεεεπ≤⋅=⋅=≤从而得()1300R R ε≤5.正方形的边长大约为100cm ，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm 2 解：da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a 的误差不超过0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。

6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。

试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。

解：h r V 2π=)*(2*r r rh V V -=-π=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325V V V -*=2rrr -*=0.0002第二章插值法一、问答题1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质，2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为 Newton插值多项式为它们形式不同但都满足条件,于是它表明n次多项式有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。

是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。

3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange 插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为后面相因子改为即可得到Hermite插值余项。

二、填空题1.设x i (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x)为相应的四次插值基函数，则()()4402ii i xl x =+∑＝(x 4+2).2.设x i (i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i (x)为相应的五次插值基函数，则()()5543021ii i i i xx x l x =+++∑=54321x x x +++3.已知]5,4,3,2,1[,2]4,3,2,1[52)(3==+=f f x x f 则，4.2f (x)3x 1,f[1,2,3]____3_____,f[1,2,3,4]___0______=+==则。

5.设则＝3,=06.设和节点则=4.7.设()()()00,116,246,f f f ===则[][]0,1 16 ,0,1,2 7 ,f f ==()f x 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。

8.如有下列表函数:i x0.2 0.3 0.4 ()i f x0.040.090.16则一次差商[]0.2,0.4f = 0.6 。

二、计算题1、设()7351f x x x =++,求差商010120170182,2,2,2,2,2,2,,2,2,2,,2f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：01227,2169,216705f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故01120122,2162,2,28268,2,2,22702f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦根据差商的性质，得()()()()701780182,2,,217!2,2,,208!f f f f ξξ⎡⎤==⎣⎦⎡⎤==⎣⎦2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式:':122311i i i x y y - 解：根据已知条件可求得()()()()()()()()()()()()22012201212,25112,21x x x x x x x x x x x x ααββ=--=-+-=--=--代入埃尔米特三次插值多项式公式()()()()()()()()()()()()()00''30011012222=221232511221p x y x y x y x y x x x x x x x x x ααββ=+++--+-+-+-----3、如有下列表函数:i x0 1 2 3 4 ()i f x36111827试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：N 4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x 2+2x+3,0≤x ≤14、给出x ln 的函数表如下：x0.40 0.50 0.60 0.70 x ln－0.916291 －0.693147－0.510826－0.356675试用线性插值和抛物插值求54.0ln 的近似值。

5．已知x -1 1 2 F （x ）31-1请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange 插值多项式。

01201202122010102100201220211,1,2,()3,()1,()1()()()()()()()()()()()()()()()()(1)(2)(1)(2)31(11)(12)(11)(12)(1)x x x f x f x f x x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x =-=====-----=+------+----+-=⨯+⨯----+++-解：记则所以(1)(1)(21)(21)111(1)(2)(1)(2)(1)(1)223x x x x x x x x +-⨯+-=---+--+-6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f ’(1)=3,并写出插值余项。