典型概率题例1 同时掷四枚均匀硬币，求：（1）恰有两枚“正面向上”的概率；（2）至少有两枚“正面向上”的概率．分析：同时任意投掷四枚均匀硬币，每个硬币的结果都有两种可能性，四枚硬币的情况决定了一次试验的结果，每种结果的出现是等可能的，本＄月于等可能事件的概率问题．四枚硬币发生的结果总数我们可以分步确定，恰有两枚正面向上，可以先确定哪两枚正面向上，则另两枚反面向上，至少有两枚正面向上可分类为两枚正面向上、三校正面向上、全部正面向上．解：同时投掷四枚硬币，正面、反面向上的不同结果总数为：162222=⨯⨯⨯（种）（1）恰有两枚正面向上的结果总数为6C 24=，所以恰有两枚正面向上的概率为83166=÷． （2）至少有两枚正面向上的结果总数为：11C C C 443424=++种 所以至少两枚正面向上的概率为16111611=÷． 说明：使用等可能事件概率公式时，首先要判定事件是不是等可能事件，本题实际上可推广到投掷几枚硬币，恰好有m 枚正面向上的概率以及至少有m 枚正面向上的概率，设两个事件分别为A 、B ，可以求到：n m n n n n n m n B P A P 2C C C )(,2C )(10-+++== ． 例3 有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人．试求下列事件的概率．（1）事件A ：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C ：指定的某个房间中有两人；（4）事件D ：第1号房间有1人，第2号房间有3人． 分析：由于每个人进哪一个房间是随意的，所以4个人住房的各种结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题．所有可能的不同住房结果总数可以用分步计数原理求得，每人住房的结果都有6种可能，最后4个人住房的不同结果总数为46．事件A 中指定的4个房间中各有1人相当于4个人排到4个房间中去，有44A 种不同结果；事件B 中恰有4个房间，每间1人与事件A 的区别在于哪4间房不空；事件C 中指定的某房间2人，我们可以先从4人中选2人进入此房间，其它2人分步任意住进其它5个房间；事件D 可以先安排1号房间1人，再安排2号房间3人解：4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：466666=⨯⨯⨯（种）（1）指定的4个房间每间1人共有44A 种不同住法．∴5416A )(444=÷=A P ． （2）恰有4个房间每间1人共有46A 种不同住法．∴1856A )(446=÷=B P ． （3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：55C 24⨯⨯（种），∴216256)5C ()(4224=÷⨯=C P ． （4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：4C C 3314=（种），∴324164)(4=÷=D P ． 说明：“分房问题”抽象化以后可以与许多问题发生联系，比如，前面例题的小球投入盒子、安排几个人做某几项工作，几列火车停在哪个站道，若干个同学各自在哪一天生日等等．我们可以看例子：某班有50名同学，一年按365天计算，至少有两名同学在同一天生日的概率是多少？50名同学相当于上述例题中的旅游者，每一天相当于“房间”，50名同学所有生日的不同结果总数为：50365，至少有两名同学在同一天生日的结果总数可用间接法计算，总数为5036550A 365-，则至少有两人在同一天生日的概率为5050365505036550365A 1365A 365-=-，利用工具计算后将会发现，这是一个很接近1的结果，即50个人的一个班级中，有两个人在同一天生日的概率很大，高达0.97，几乎是令人惊讶的结果．例4 某人有5把钥匙，其中有一把是打开房门的钥匙，但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙，于是他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开房门锁的概率是多少？ 分析：某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件的概率问题．恰好第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是开房门钥匙，三次内打开房门相当于5把钥匙的排列中，开房门钥匙出现在前3个．解：本题是等可能事件的概率问题，某人5次拿钥匙的所有不同的结果是55A ．（1）恰好第3次拿出开房门钥匙的结果总数为：44A ．所以恰好第3次打开房门的概率为：2.0A A 5544=÷ （2）前3次内拿出开房门钥匙的结果总数为：344A ．所以前3次打开房门的概率为：6.0A 3A 5544=÷ 说明：如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙，则在前3次内打开房门的概率是多少？三次内找开房门说明在前三次中至少有1次取出开房门钥匙，我们可以通过分类讨论，恰有一把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为：33121312A C C C ，恰有两把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为3323A A ，这样我们得到前三次内打开房门的结果总数为108A A A C C C 332333121312=+，从而前3次内打开房门的概率为：109A 10855=÷． 例5 抽签口语测试，共有a ＋b 张不同的考签，每个考生抽1张考签，抽过的考签不再放回，某考生只会考其中的a 张，他是第k 个抽签的，求该考生抽到会考考签的概率．分析：因为每个人抽哪一张考签是随意的，所有人抽签后抽出的结果相当于这些考签的一个全排列，而且各种不同的排列结果出现的可能性相同，本题是求等可能事件的概率问题．由于某考生是第是次抽签，他能抽到会考考签相当于全排列中第k 个元素，是某人会考的a 个考签中的一个，我们可以用排列组合知识求出这种排列的所有不同种数，然后用等可能事件的概率公式求解．解：本题是等可能事件的概率问题．a ＋b 个考生的所有不同的抽签结果的总数为b a b a ++A ， 某个考生第k 次抽签，他正好抽到会考的a 张考签的一个，相当于所有抽签的结果中第k 张考签是a 张考签中的1张，我们可以得到所有这种抽签结果的总数为：111A C -+-+b a b a a ． 所以某个考生抽到会考考签的概率为：ba ab a b a b a b a a +=÷++-+-+A A C 111． 说明：从计算结果看，第几次抽签对该考生抽到会考考签的概率并没有影响，也就是说，无论他是第几个抽签，都不会影响他抽到会考考签的可能性．在日常生活中有这样的问题：10张彩票中有1张是中奖彩票，现在10个人去摸彩，先模后摸对中奖的可能性有无影响？现在我们可以来计算这个问题的结果，现在假定你是第m 个去摸奖，为了计算中奖的概率，先算出10个人摸彩的所有可能结果是10！，而中奖彩票正好出现在第m 个的所有可能结果为9！，这样可以得出你中奖的概率为1.0!10!9=÷，结果与m 并无关系，根本无须担心中奖彩票被别人抓去．例6 已知10只晶体管中有8只正品，2只次品，每次任抽取1只测试，测试后放回，求下列事件的概率．（1）抽3次，第3只是正品；（2）直到第6只时，才把2只次品都捡到了．分析：每次从10件晶体管中任取1件，经过若干次，各种结果的可能性是一样的，抽 3次，所有可能抽出的结果总数为10×10×10，抽6次，所有可能抽出的结果总数为610，到第6次时正好第2只次品也抽到了，说明前5次抽检中出现过另一只次品，当然这只次品也可能出现过几次．我们可以用间接法来求出符合这个要求的所有可能结果的总数为)89(C )8888899999(C 551212-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯，这个式子的含义是先走下第6次抽出的次品是哪一个，然后用前5次抽检的所有结果总数（前5次未出现第6次抽检的次品）减去前5次全是正品的所有结果总数．解：本题是等可能事件的概率问题．（1）抽检3次所有可能的抽检结果总数为310，第三只是正品的所有可能的抽检结果总数为10×10×8．所以第三只是正品的概率为：5410)8810(3=÷⨯⨯． （2）抽检6次所有可能的抽检结果总数为610．∵ 第6只时才能把第2只次品抽检到，∴ 前5次抽检未出现第6次抽到的次品，但是至少出现一次另一只次品． ∴ 第6只时才把第2只次品抽检到的所有可能的抽检结果总数为 )8-(9C 5512．此事件发生的概率为：052562.010)8-(9C 65512=÷．说明：如果每次抽检的结果不再放回去，直到第6只时才把2只次品都找出来的概率是多少？这个问题仍然是等可能事件的概率问题，因为抽出的产品不再拿回，所以前6次抽出的不同结果相当于从10件产品中抽出6件的一个排列，所有可能的结果总数为610A ，第6次抽到第2件次品，说明第6件是次品，前面还有一件次品，所有可能的结果总数为4812A 5C ⨯⨯，其含义是先在第6个位置放一个次品，另一个次品在前面5个位置的某一个上，最后在其它四个位置上放上8件正品中的4个．用等可能事件的概率公式可算出此事件发生的概率是454A )A 4(C 5104812=÷⨯⨯． 例7 求100件产品中，有95件合格品，5件次品．从中任取3件，求：(1)3件都是合格品的概率；(2)3件都是次品的概率；(3)2件是合格品、1件是次品的概率．分析：可从集合的角度处理本题．需求出全集I 的元素个数及I 中各子集的元素个数． 解：从100件产品中任取3件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取3个元素的组合数3100C ．由于是任意抽取，这些结果出现的可能性都相等．(1)由于在100件产品中有95件合格品，取到3件合格品的结果数，就是从95个元素中任取3个元素的组合数395C ，记“任取3件，它们都是合格品”为事件1A ，那么事件1A 的概率：3234027683)(31003951==C C A P ． 得3件都是合格品的概率为3234027683． (2)由于在100件产品中有5件次品，取到3件次品的结果数，就是从5个元素中任取3个元素的组合数35C ．记“任取3件，它们都是次品”为事件2A ，那么事件2A 的概率：161701)(3100352==C C A P ．得3件都是次品的概率为161701． (3)记“任取3件，其中2件是合格品、1件是次品”为事件3A ．由于在3100C 种结果中，取到2件合格品、1件次品的结果有15295C C ⋅种，故事件3A 的概率：.6468893)(3100352953=⋅=C C C A P 得2件合格品、1件是次品的概率为6468893． 说明：本题是产品抽取问题．抽取时，抽到其中的任何一件产品的可能性都相等，可用等可能事件的概率公式进行计算．例8 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品．(1)如果从中取出一件，然后放回，再任取一件然后放回，再任取一件，求连续3次取出的都是正确的概率．(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．解：(1)为返回抽样问题，每次抽样都有10种可能，根据分步计数原理，所有等可能出现的结果为310种，设A 表示“三次返回抽样，所抽得的3件产品都是正品”，则A 所包含的结果根据分步计数原理有38种．∴512.0108)(33==A P ． (2)为不返回抽样问题，所有等可能出现的结果为310C 种，设B 表示“一次抽3件，所抽得的产品都是正品”，则B 所包含的结果有38C ，所以，467.0)(310038≈=C C B P 说明：求等可能事件的概率，在求n 时应注意n 种结果必须是等可能的，例如抛掷2枚均匀硬币，共出现4种可能结果，如果认为只有“2个正面”、“2个反面”、“1正1反”这3种结果，那么显然这3种结果不是等可能的．例9 箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放回，问取出的3个全是正品的概率是多少？分析1：可以看作不放回抽样3次有顺序．解法1：从b a +个产品中不放回抽样有顺序，共有3b a A +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次有顺序，共有3a A 种不同抽法，可以取出3个正品的概率33b a a A A P +=． 分析2：可以看作不放回抽样3次无顺序．解法2：从b a +个产品中不放回抽样3次无顺序，共有3b a C +种方法，从a 个正品中取出3个正品的取法有3a C ，所求概率为：33b a a C C P +=． 说明：关于不放回抽样可以看作有顺序（即排列问题），也可看作无顺序（组合问题），其结果是一样的．不论选用哪种方式，确定之后必须按同一方式去解决，否则会产例11 一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从一副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率．分析：至少有3张黑桃包括两种情况：“恰有3张黑桃”与“4张全是黑桃”．用这两种情况的取法总数除以52张牌中任取4张牌的取法总数．解：从52张牌中任取4张，有452C 种取法，即452C n =．4张牌中至少有3张黑桃的取法有413139313C C C +⋅．因此，取4张牌中至少有3张黑桃的概率是：452413139313C C C C P +⋅=． 说明：(1)若先取3张黑桃，有313C 种取法，第4张黑桃从剩余49张中任取1张，这样所求概率为452149313C C C P ⋅=．错误原因在于分子计算中有重复现象． (2)“至多”与“至少”的组合数可用分类法或排除法求．本例中可用52张中取4张的全部取法452C 减去没有黑桃的取法439C ，再减去恰有一张黑桃的取法339113C C ⋅，再减去恰有2张黑桃的取法239213C C ⋅，得239213339113439452C C C C C C ⋅-⋅--求得． 例12 某大学招收的15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班中去．(1)每班各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一班的概率是多少？分析(1)：每班分配到1名优秀生和4名非优秀生，甲班从3名优秀生中任选1名，从12名非优秀生中任选4名，共有41213C C 种方法；乙班从剩下的2名优秀生中选1人，从剩下的8名非优秀生中选4名，共有4812C C 种方法；最后剩下的1名优秀生和4名非优秀生给丙班．有4411C C 种方法．将15名新生平均分到甲、乙、丙三个班级共有55510515C C C 种不同的分法．解：每个班级分到1名优秀生，共有4448412111213C C C C C C 种不同的方法，将15名学生平均分到3个班级共有55510515C C C 种不同方法，每班分配到1名优秀生的概率．9125555105154448412111213==C C C C C C C C C P ． 分析(2)：3名优秀生都分到甲班，共有21233C C 种分法，乙班从剩下的10名之中选5名510C ，剩下5名给丙班，共有5551021233C C C C 种不同分法．同理，3名优秀生都分到乙班、丙班方法数均为5551021233C C C C ．解：3名优秀生都分到同一班级的概率为9163555105155551021233==C C C C C C C P ． 例13 “齐鲁福利风采”彩票的模奖办法是30选7，即每一注彩票都是从30~1中选7个数构成。