Wiener 滤波器的设计及Matlab 仿真实现
1.实验原理
在许多实际应用中，人们往往无法直接获得所需的有用信号，能够得到的是退化了或失真了的有用信号。
例如，在传输或测量信号s(n)时，由于存在信道噪声或测量噪声v(n)，接受或测量到的数据x(n)将与s(n)不同。
为了从x(n)中提取或恢复原始信号s(n)，需要设计一种滤波器，对x(n)进行滤波，使它的输出y(n)尽可能逼近s(n)，成为s(n)的最佳
估计，即y(n) = )(ˆn s。
这种滤波器成为最优滤波器。
Wiener 滤波器是“理想”意义上的最优滤波器，有一个期望响应d(n)，滤波器系数的
设计准则是使滤波器的输出y(n)(也常用)(ˆn d
表示)是均方意义上对期望响应的最优线性估计。
Wiener 滤波器的目的是求最优滤波系数],,,,,,[,1,0,1, k o o o o w w w w w -=，从而
使])(ˆ)([])([)(2
2
n d
n d E n e E n J -==最小。
通过正交性原理，导出
)()(k r k i r w
xd x
i oi -=-∑∞
-∞
=， 2,1,0,1,-=k
该式称为Wiener-Hopf 方程，解此方程，可得最优权系数},2,1,0,1,,{ -=i w oi 。
Wiener-Hopf 方程的矩阵形式为xd o x r w R =，解方程求得xd x o r R w 1
-=
2.设计思路
下面我们通过具体的例子来说明Wiener 滤波器的设计方法：
考虑如下图所示的简单通信系统。
其中，产生信号S(n)所用的模型为
)95.01/(1)(11-+=z z H ，激励信号为)3.0,0(~)(WGN n w 。
信号s(n)通过系统函数为)85.01/(1)(12--=z z H 的信道，并被加性噪声)1.0,0(~)(WGN n v 干扰，v(n)与w(n)不相
关。
确定阶数M=2的最优FIR 滤波器，以从接收到的信号x(n) = z(n) + v(n)中尽可能恢复发送信号s(n)，并用MATLAB 进行仿真。
解：
s （n ）是一个AR （1）过程，在x （n ）= z （n ）+ v （n ）中，z （n ）是一个二阶AR(2)过程。
由于白噪声产生z （n ）的系统函数相当于H （z ）= H1（z ）H2（z ），因此
21118.01.01)85.01)(95.01()(-----+=-+=z z z z z A 。
二阶AR （2）过程的参数1.01,2=a ，8.02,2-=a ，方差3.02W =σ。
由二阶AR （2）参数可以确定)(r z k ，
由Yule-Walker 方程⎥
⎦⎤⎢⎣⎡)0()1()1()0(z z z z r r r r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡)2()1(2,21,2z z r r a a ，
以及AR 模型的方差表达式)2()1()0(2,21,22
w z z z r a r a r ++=σ，
反解)1(),0(z z r r 得，
9
10
]1.0)8.01[(3.08.018.01]
)1[(11)0(222
1,222,22
2,22
,2=
--+-=
-+-+=
a a a a r w
z σ9
51)0()1(2
,21,2-=+-=
a r a r z z
由此确定z （n ）的自相关矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=9109595910z R 进而有]21.156.056.021.1[1.0100191095959102--=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+=I R R v z x σ 期望响应d （n ）= s （n ），接下来，求)(k r xd -。
因为))()(()(n d k n x E k r xd -=-
把)()1(85.0)(n d n z n z =--和)()()(n v n z n x +=代入上式，得
)1(85.0)()(--=-k r k r k r z z xd
故58.1)1(85.0)0()0(=-⨯-=z z xd r r r
50.1)0(85.0)1()1(-=⨯-=-z z xd r r r
从而有⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=50.158.1xd r ，将此式带入Wiener-Hopf 方程解得最优权系数为
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-==-8656.09052.01
xd x o r R w 3.实验源码
MATLAB 仿真实现该维纳滤波器的程序： % Generate signal s(n) N = 64;
w = sqrt(0.3)*randn(N,1); A1 = [1 0.95];
s = filter(1, A1, w); d=s;
% Transmit and add a noise A2 = [1 -0.85];
z = filter(1, A2, s);
v = sqrt(0.1)*randn(N,1); x = z + v;
% Wiener Filtering
y = filter([0.9052 -0.8656], 1, x);
% plot the waveforms n = [0 : N-1]; subplot(211);
plot(n, d, 'b-x', n, x, 'r-o');
legend('d(n)', 'x(n)'); axis tight ; ylabel('Amplitude'); xlabel('Time (n)');
title('Desired Response / Input Signal'); subplot(212);
plot(n, d, 'b-x', n, y, 'r-o');
legend('d(n)', 'y(n)'); axis tight ; ylabel('Amplitude'); xlabel('Time (n)');
title('Desired Response / Output Signal');
4.仿真结果及分析
仿真结果如图所示：
从图中可明显看出，y(n)比x(n)更接近于d(n)，维纳滤波器从接收到的信号x(n) = z(n) + v(n)中尽可能地恢复出了发送信号s(n)。
5.实验结论
维纳滤波器的设计目标是使滤波器误差平方的集平均(期望值)最小，在平稳并各态历
经的条件下，相当于在）（+∞∞-,误差的平方和最小，因此，求解最优滤波器需要输入信号
的自相关矩阵和输入信号与期望响应的互相关矢量，这在实际应用中一般很难得到。
LS 滤波器的目标是现实的，它使用输入信号和期望响应在测量区间的观测值，通过令误差平方和在观测区间最小，而设计出滤波器系数。