《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导14 常微分方程的数值解法一.重点内容1. 欧拉公式：）心知1）a 儿+1 =儿 + hfg ，儿） m 1、伙=0丄2,…川一 1）I 无=x Q +kh局部截断误差是0（*）。
2. 改进欧拉公式：预报一校正公式：预报值 _v*+1 =儿+ hf （x k ,儿）-h -校正值y M = y k +-［f （x kt y k ） + /（x A+1, y M ）］即儿+1 =儿+ £ "（忑'儿）+心+「儿+ hfg ,儿））］或表成平均的形式：儿=儿+ hfg ,儿） '儿=儿+"（无+】，儿）+K ）改进欧拉法的局部截断误差是0（2）3. 龙格一库塔法二阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪） 三阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（护）四阶龙格F 塔法公式：儿计=儿+ 2（匕+ 2心+ 2© + ©）四阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪）。
二实例y' = — y — xv f2（0 < x < 0.6）例1用欧拉法解初值问题｛'•-取步长/匸02计算过程保留b （o ）= 14位小数。
解/i=0.2. f （x ）= —y —xy 2<,首先建立欧拉迭代格式y*+i =儿+ hf g,y k ） = y k -hy k -hx k y ；=0.2 儿（4 - x k y k ）（k = 0,1,2）K 2=f(x n +^h,yk+-hK\)t gg+舟人，>'n +y/?A3）；当k=0, xi=0.2 时，已知x（）=0,y（）=l,有y(0・2)今i=0・2X l(4-0X 1)=0.8000当k=\. M=0・4时，已知“=0・2」尸0・8,有y(0・4)今2=0.2 X 0.8X(4-0.2X0.8)=0.614 4当k=2, xs=0.6 时，已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0・6)今3=0.2 X0.6144X (4-0.4 X 0.4613)=0.8000「J, ,2 ・_ ZX例2用欧拉预报一校正公式求解初值问题\y + v +V sinx=,取步长/?=0.2,计算.y ⑴=1 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。
解步长力=0.2,此时/(x,y)=—y—fsiiu欧拉预报一校正公式为：预报值兀I = y k + hfg y k)- I J_校正值)3=儿+尹(忑，儿)+ fg,儿+1)]有迭代格式]预报值儿+] = y k 4-h(-y k -y； sin x k)=y k (0・8-0・2儿sin x k)< h 、—— 2校止值y如]=儿 +尸[(一片一力sinxJ + LN+i-yl sin.v I+1)]——•>=儿(°・9一0・1儿sin心)一0・1(儿+| +y；j sin心利) 、"M=0.別=1」)=1 时，Xj=1.2> 有儿=yo(°・8-O・2yo sinx0) = 1 x (0.8-02x lsin 1) = 0.63171y(1.2) «= lx(0.9-0.1xlxsinl)-0.1(0.63171+0.631712sinl.2) = 0.71549当 T xi=1.2, yi=0.71549 时,x2=1.4,有y2 =儿(0.8-0・2儿sinXj) = 0.71549x(0.8-02x0.71549sinl.2)=0.47697y(14) z y2= 0.71549x(0.9-0.1x0.71549xsin 1.2)-0.1(0.47697+ 0.476972 sin 1.4) =0.52608V = 8 — 3y例3写出用四阶龙格一库塔法求解初值问题^ ‘的计算公式，取步长/匸0.2计b(0) = 2算y(0.4)的近似值。
讣算过程保留4位小数。
解此处.心,刃=8 —3”四阶龙格一库塔法公式为艰=儿 + % + 2© + 2勺 + ©)1 h, y n+ y/?A3)：本例计算公式为:0 2呱严儿+三(32©+2©+心其中K I=8—3比；K2=5・6—2.1)%：心=6・32—2・37)灭；心=4・208+1.578〉》>7+1 = y k + 上（8 - 3 儿 + 2（5.6 一 2.1儿）+ 2（6.32 一 2.37 儿）+ （4.208 一 1.578儿））= 1.2016 + 0.5494 儿伙=0J2 …丿一 1）当兀尸0,yo==2,y （0.2） « =1.2016 +O.5494y o = 1.2016+ 0.5494x 2 = 2.3004 〉，（0.4）~>，2 =l ・2016+ 0.5494比=1.2016+ 0.5494x 2.3004 = 2.4654 例4设初值问题y ，+ y = 0,y （0） = l ，证明用梯形公式求解该问题的近似解为 儿=詔）证明解初值问题的梯形公式为儿+1 =31- +£【/（忑，片）+ /（H+i ，儿+1）］仗=°」，2,…屮一 1）••• /（匕 y ） = _y■■-畑=儿+寸［一儿一畑］整理成显式（2-h}>7+i = -—r 儿（£=0丄2…丿一 1）12 +力丿用匕皿一 1,"一2,…,1.0反复代入上式，得到,_（2-/J. _（2-/讦，_ _（2-力丫小例5选择填空题:答案：汕=九［1 • 1 +（］ + 0］防 1，k = °，1，2,…,“ ->0 = 1>> =>\ +妙•（忑，儿） 儿=儿+"（兀*丿2 + h ） 1.2 + // 1.2 + 力 y Q =1・•・儿=12 +力丿1.取步长A=0.L 用欧拉法求解初值问题?4十I 的计算公式是yd ）= 1解答：欧拉法的公式此处f （x 9y ） = ^ + y,迭代公式为2.改进欧拉法的平均形式公式是（）答案：（D ）解答：见改进欧拉法平均形式公式。
三、练习题y f = f （x 、y ）1・求解初值问题【欧拉法的局部截断误差是（）；改进欧拉法的局部截断 误差是（）；四阶龙格一库塔法的局部截断误差是（）（A ）O （/r ） （B ）O （护）（C ）O （f ） （D ）O （h 5） 2. 改进欧拉预报一校正公式是预报值 ）1 = y A + _________校 JE 值 儿+i =y A +y[ ________________ ]改进欧拉法平均形式公式为»= ______________ ,儿= ___________ ，屮+尸 ________________ 试说明它们是同一个公式。
3. 设四阶龙格一库塔法公式为y'+ y = 05. 试写岀用欧拉预报一校正公式求解初值问题和 / 的计算公式，并取步长/i=0.1,求y （0・2）的近似值。
要求迭代误差不超过10 5。
6. 对于初值问题P = A；V试用（1）欧拉法：（2）欧拉预报一校正公式：（3）四阶龙格一库（y （o ）=1塔法分别计算y （0・2）,y （0・4）的近似值。
y z + y = x7. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题彳• • 在.匸0・2,0・4,0・6处的近似值。
儿=）7 +〃（忑，儿） 儿=儿+〃（无+1,儿）y^=-（y P + 儿）儿=>\ +妙•（忑，儿） 儿•=儿+ /矿（X —儿+1 =亍（儿+儿）丿(“)=>04•取步长尼0.1.用欧拉法求解初值问题?卜(0) = 1V — = V. +’（心 +2心 +2心 +匕）取步长5,用四阶龙格-库塔法求解初值问叱爲的计算公式y(0) = 0四.练习题答案1. (A), (B), (D)2・hf(x k, y k); f(x k, y k) + f(x M, y i+1)比+"(兀，儿)；儿+/(忑+1,儿,) *(打+儿)只需将尹,弘的表达式代入到屮+】中，就得到预报一校正公式。
3. 0.2591625 +1.2591625 % (R = 0.1,2,・・・,死一1)提示：其中Ki=l—yjt：心=0・85(1 —%)：心=0・8725(1—滋)：心=0・73825(1 —)认) 畑=儿 + 孚(1 一儿+ 1.7(1+1.745(1-儿)+ 0.73825(1-儿))O=0.2591625 + 1.2591625 y k伙=0,12…,n-1)4.yi=l, )*1.005000,护1・010025, y4= 1.025 175, y5= 1.045 679,>•6=1.078 21,力=1.103 976, y尸1」42615,严尸1」88 320, yi0= 1.241 7945.计算公式为>7+i =°・9 儿>7+1 =°・95 儿_ (k=0,1,2,…，舁一1) -0・05〉i儿=0・9 儿儿=0.905’ ［儿= 0.814 286 = 0.818 8096•欧拉法：y(0.2> 1.000 00; y(0.4)^1.080 00欧拉预报一校正公式：y(0.2>1.020 84; y(0.4> 1.042 40四阶龙格一库塔法：y(0.2> 1.002 673 ；y(0.4)^ 1.021 798 7.y/7=0, y(=0.04, vi=0.02：yp=0・056, N=0・088&户=0・0724：忙0・13792,比=0」64816,屮=0」513688.提示：见教材关于梯形公式的推导。