（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。

解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。

证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀ 210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。

由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量)0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。

由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。

（3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？解：任取n t t t <<<≤∀ 210，则有：n k W W W ki t t t i i k ,,2,1][11 =-=∑=-由平稳增量和独立增量性，可知))(,0(~121----i i t t t t N W W i i σ并且独立 因此),,,(1121---n n t t t t t W W W W W 是联合正态分布的，由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1121211110011001n n n t t t t t t t t W W W W W W W W 可知是正态过程。

（4） 设}{t B 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。

解：标准布朗运动的相关函数为：},min{),(2t s t s R B σ=如果标准布朗运动是均方可微的，则),(/t t R B 存在，但是：20/0/),(),(lim ),(0),(),(lim),(σ=∆-∆+==∆-∆+=+→∆-+→∆+tt t R t t t R t t R tt t R t t t R t t R BB t B B B t B故),(/t t R B 不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。

（5） 设t N ，0≥t 是零初值、强度0>λ的泊松过程。

写出过程的转移函数，并问在均方意义下，0,0≥=⎰t ds N Y tst 是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= λλλλλλλλ0000Q其相关函数为：st t s t s R N 2},min{),(λλ+=，由于在t ∀，),(t t R N 连续，故均方积分存在。

（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.025.075.011100100p p p pP试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。

解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为)3/1,3/2(。

（7） 设齐次马氏链{}{},4,3,2,1,0,=≥S n X n 一步转移概率矩阵如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=002/12/1002/12/12/12/1002/12/100P （a ）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C －K 方程）； （b ）求n 步转移概率矩阵；（c ）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？解：（a ）略（b ）⎩⎨⎧====偶数奇数n P n P P n P n2)( （c ）此链不具遍历性（8） 设0,)1()()(≥-=t X t Y t N ，其中}0);({≥t t N 为强度为0>λ的Poission 过程，随机变量X 与此Poission 过程独立，且有如下分布：0,2/1}0{,4/1}{}{>=====-=a X P a X P a X P问：随机过程0),(≥t t Y 是否为平稳过程？请说明理由。

由于：0)}({=t Y E{}{}{}{}{}{}1222)(220)(12201212)()(2)()(2)()()(22)()(2)()(22122!)]([)1(2})()({)()()1(2)1(2)1(2)1()1(),(121212*********t t e a e a e n t t a n t N t N P n t N t N E a E a E a E X E X E t t R t t n t t n nn t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N Y -===--==-=--=-=-=-=-⋅=---∞=--∞=---+++∑∑τλλτλλ故)}({t Y 是平稳过程。

（9） 设0,2≥+=t Yt X X t ，其中X 与Y 独立，都服从),0(2σN（a ）此过程是否是正态过程？说明理由。

（b ）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。

证明：（a ）任取 n t t t N n <<<≤∈ 210,，则有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Y X t t t Yt X Yt X Yt X X X X n n t t t n 212121222212121 由于X 与Y 独立，且都服从),0(2σN ，因此可得()τY X 服从正态分布，由上式可知随机向量 ()τn t t t X X X 21服从正态（高斯）分布，所以过程0,2≥+=t Yt X X t 是正态（高斯）过程。

（b ）由：0}{2}{}{=+=Y tE X E X E t221222121222121221214}{4}{}{)(2}{}{4}{)(2}{]}2][2{[}{),(21σσt t Y E t t Y E X E t t X E Y E t t XY E t t X E Y t X Y t X E X X E t t R t t X +=+++=+++=++==由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。

（10） 设t N ，0≥t 是零初值、强度1=λ的泊松过程。

（a ）求它的概率转移函数}{),,,(i N j N P j i t s p s t ===； （b ）令0,≥-=t t N X t t ，说明⎰=1dt X Y t存在，并求它的二阶矩。

解：（a ）)()!()]([}{),,,(s t i j s t ei j s t i N j N P j i t s p -----====λλ （b ）先求相关函数：)21(},min{)})({(),(2λλλ-++=--=st st s t s N t N E s t R s t X对任意的t ，在),(t t 处),(t t R X 连续，故t X 均方连续，因此均方可积，⎰=1dt X Y t存在。

{}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101101112102),(}{dtdss t Rdtds X X E ds X dt X Edt X E Y E Xststt将),(s t R X 代入计算积分即可。

由1=λ，得：},min{)21(},min{)})({(),(2s t st st s t s N t N E s t R s t X =-++=--=λλλ{}{}31},min{),(}{1101101101101010102102=+=====⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ds s dt ds t dt dtds s t dtds s t R dtds X X E ds X dt X E dt X E Y E ttX s t s t t（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。

现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。

第一次摸球之前没有积分。

以n Y 表示第n 次取出球后的累计积分， ,1,0=n （a ）n Y ， ,1,0=n 是否齐次马氏链？说明理由。

（b ）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率ij p 和两步转移概率)2(ij p 。

（c ）令}0,0;min{0>==n Y n n τ，求}5{0=τP 。

解：（a ）是齐次马氏链。

由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。

状态空间为：},2,1,0,1,2,{ --=S 。

（b ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+=====+其他,01,3.0,4.01,3.0}{1i j ij i j i Y j Y P p n n ij⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-=⨯⨯=⨯++=⨯⨯+====+其他,02,3.01,4.03.02,3.024.01,4.03.022,3.0}{)2(22222i j i j ij i j i j i Y Y P p n n ij（c ）即求首达概率，注意画状态转移图。