电子科技大学
04。10。14
EX.5 设随机微分方程为
X (t) Y (t),
X
(a)
X 0.
t [a,b],
其中,Y(t)是一个已知的均方连续二阶矩过程，
求X(t), 并求其数字特征.
解 直接积分并代入初始条件, 得
X (t )
X (a)
t
a
X (s)ds
X0
at Y (s)ds
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均方可导
均方连续
均方可积
逆均不真
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五、正态随机过程的均方微积分
(实值)正态过程是重要的二阶矩过程,常见 正态过程的导数或积分问题.
定理4.4.6 正态随机变量序列的均方极限仍
为正态分布随机变量.
即若{Xn,n≥1}为正态随机变量序列
l.i.m
n
Xn
X,
则X是正态随机变量.
则( X1 , X 2 , , X m )是m维正态随机向量.
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定理4.4.8 设{X(t),t∈T}为一个正态过程,且 在T上均方可微, 则其导数过程{ X (t ), t T } 也是正态过程.
的均值函数和相关函数.
解
t
mX (t)
E[
W (s)ds]
0
t
E[W (s)]ds 0
，
0
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RX (s, t ) 0s0t RW (u, v)dudv
v
s t 2 min( u, v)dudv t 00
设s≤t
RX (s, t) 2
s
du
0
u
min( u, v)dv
Y (0) 0
描述, 则输出电压为
Y (t) t X (s)estduds t X (s)e(ts)ds
a
a
而且
et t X (s)esds, t 0. a
mY (t) et
t a
m
X
(t
)es
ds,
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t 0.
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二阶矩过程的极限、连续、导数、积 分，其统计特征主要由相关函数表征.
解 显然有边界值Y(a)=Y0,
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对(*)式两边求均方导数
Y (t ) [Y0eat (u)du ]t
[
t a
X (s)est (u)duds]t
Y0 (t )eat (u)du [eat (u)du
t a
X
(s)e
as
(u)duds]t
( est (u)du eat (u)duas (u)du )
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证 记 fn(t) E（e jtXn）, f (t ) E(e jtX ), an E( X n ), a E( X ),
2 n
D( Xn
),
2 D( X ),
由均方收敛性质
l.i.m
n
Xn
X,
lim
n
an
a,
lim
n
2 n
2,
f (t) lim fn (t)
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t
mX (t) E( X0 ) a mY (s)ds,
s
t
RX (s, t) E{[ X0
a Y (u)du][ X 0
Y (v)dv]}
a
E[ X0 2] E[X0
t
a Y (v)dv] E[X0
s
Y (u)du]
a
st
a
a RY (u, v)dudv.
0
2
s
du
tห้องสมุดไป่ตู้
min( u,v)dv
0
u
2
s
du
u vdv 2
s
t
udv
0
0
0u
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u=v su
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2s2 (3t s)
6
由s 与t 的对称性
2s2
RX
(s,
t)
6 2t 2 6
(3t (3s
s), t ),
0 s t; 0 t s
维纳过程是均方连续, 均方不可导, 均方 可积的二阶矩过程.
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EX.6 验证过程
Y (t ) Y0eat (u)du
t X (s)est (u)duds
a
(*)
是一阶线性微分方程
Y (t) (t)Y (t) X (t)
Y (a) Y0
的解. 其中{X(t), t∈[a, +∞)是均方连续二阶
矩过程, Y0是二阶矩随机变量, β(t)是普通函 数.
b
a X (t)dt X (b) X (a)
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证 X (t )均方连续
Y (t)
t
a
X (s)ds
在[a, b]上均方可导, 且
Y (t) X (t),
定理4.5.4之1）
[Y (t) X (t)] Y (t) X (t) 0, t [a, b],
Y(t) X(t) X
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§4.5 随机过程的均方积分（二）
四、均方不定积分
定义4.5.4 设X(t) 在[a, b]在上均方连续,
Y (t ) at X (s)ds t [a,b],
称为X(t)在[a, b]上的均方不定积分.
定理4.5.4 设X( t )在[a, b]上均方连续,则其
在[a, b]上的均方不定积分 Y(t) 在[a, b]上均方
n
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lim e e , jtan
1
2
n2t
2
jta 1 2t 2
2
n
即X服从N (a, 2 ).
定理4.4.7 m维正态随机向量序列
(
X
(n) 1
,
X
(n 2
)
,
,
X
(n) m
)
的均方极限仍为m 维正态随机向量,即若
l.i.m
n
X
( i
n)
Xi,
i 1,2, , m
可导, 且
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1) Y (t) X (t);
2) E[Y (t)] at E[ X (s)]ds ,
mY (t ) at m X (s)ds;
st
3) RY (s, t) a a RX (u, v)dudv .
定理4.5.5 (牛顿-莱布尼兹公式) 设X(t)在 [a,b]上均方可导, X (t )均方连续，则有
与t 无关的 随机变量
Y (t) X (t) X , t [a,b],
令t a, 得 X (a) X Y (a) 0,
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X X(a)
b
a
X
(t )dt
Y
(b)
X
(b)
X
(a).
EX.4 设{W(t), t≥0}为参数为σ2的维纳过 程, 求积分过程
t
X (t) 0 W (s)ds, t 0,
Y0 (t )eat (u)du (t )eat (u)du
t X (s)eas (u)duds
a
eat (u)du X (t )e at (u)du
(t)Y (t) X (t)
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如RC积分电路的输出电压Y(t)输入电压 X(t)的关系由方程
Y (t) Y (t) X (t)